No.1ベストアンサー
- 回答日時:
複素数のべき乗には定義の問題があるんだけど, x^y を
e^z = x なる z により x^y = e^(zy)
とすれば「a+bi の形」にすることができる. 例えば
2^i = e^(i log 2) = cos (log 2) + i sin (log 2)
とか.
ただし e^z = x となる z は一意に決まらないので, そこは注意だ.
回答ありがとうございます。
なるほど、e^z = x すなわち、すべての実数はネイピア数の複素数乗の形にできるということですね。すると実数の複素数乗は、オイラーの公式でa+biの形に展開できるので複素数であることが証明されますね。
x = e^z がすべての実数xについて成り立つことの証明は自分で調べてみたいと思います。ご教示ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
>その「別の話」の方を聞きたいのですが・・・
複素数のべき乗や対数のあたりは、
べき乗の **定義** を実数のものと整合する形で
複素数に **拡張** することから始めないといけません。
e^z = Σ[n=0~∞](1/n!)z^n (zは複素数、nは正数)
とか、べき乗に新たな定義を加えることから始めて
体系を作ってゆきますが、
サイトだと、こんなのが参考になるかも。
https://xn--eng-u28d.niigata-u.ac.jp/~nomoto/2.h …
べき乗の定義を複素数に拡張することは、すでに前提にしています。
このことは私の質問内容から分かると思いますが・・・。
ご紹介のURLですがアクセスできませんね。
(´・ω・`)
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