虚数の定義が良く分かりません

Wikipediaによると虚数とは「実数ではない複素数のこと」とありますが、a＋bi の形をしていない数、例えば2の i 乗とか i の π(パイ)乗とか i を底とした対数とかは何になるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/23 01:19

複素数のべき乗には定義の問題があるんだけど, x^y を

e^z = x なる z により x^y = e^(zy)
とすれば「a＋bi の形」にすることができる. 例えば
2^i = e^(i log 2) = cos (log 2) + i sin (log 2)
とか.

ただし e^z = x となる z は一意に決まらないので, そこは注意だ.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、e^z = x すなわち、すべての実数はネイピア数の複素数乗の形にできるということですね。すると実数の複素数乗は、オイラーの公式でa+biの形に展開できるので複素数であることが証明されますね。
x = e^z がすべての実数ｘについて成り立つことの証明は自分で調べてみたいと思います。ご教示ありがとうございました。

お礼日時：2023/03/23 18:15

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/24 10:24

>その「別の話」の方を聞きたいのですが・・・

複素数のべき乗や対数のあたりは、
べき乗の　**定義** を実数のものと整合する形で
複素数に **拡張** することから始めないといけません。

e^z = Σ[n=0～∞](1/n!)z^n (zは複素数、nは正数)

とか、べき乗に新たな定義を加えることから始めて
体系を作ってゆきますが、

サイトだと、こんなのが参考になるかも。
https://xn--eng-u28d.niigata-u.ac.jp/~nomoto/2.h …

この回答へのお礼

べき乗の定義を複素数に拡張することは、すでに前提にしています。
このことは私の質問内容から分かると思いますが・・・。
ご紹介のURLですがアクセスできませんね。
（´･ω･`）

お礼日時：2023/03/24 12:29

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/23 10:00

質問のタイトルの方

「実数ではない複素数のこと」の方を答えておくと
・複素平面上で実数軸を除いたところ。
・実数以外の複素数。
・虚数成分がゼロではない複素数

これと、「2の i 乗」とかは別の話だと思う。

この回答へのお礼

＞「2の i 乗」とかは別の話だと思う。
その「別の話」の方を聞きたいのですが・・・

お礼日時：2023/03/23 18:19

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/23 03:04

例えば、

i^i = (e^((π/2)i + 2nπi))^i = e^(((π/2)i + 2nπi)i) = e^(- (π/2) - 2nπ)
の値は、ひとつに定まらないが、全て実数ではある。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
虚数の虚数乗が実数になるとは、魔法を見ているみたいですね。しかも間の計算にパイやネイピア数がからんでくるのが不思議です。

お礼日時：2023/03/23 18:18