1の複素数乗は１です

か？

No.7 ベストアンサー 回答者： videocam 回答日時： 2013/08/28 23:40

No.4 videocam　です。

そろそろ、ご説明いたしましょう。
実は、私のNo.4回答は、あなたに「iのi乗」に興味を持っていただくためのトリックに過ぎません。

以下に、詳細を記述してみました。
高校数学の範囲を越えていますので、難しいです。
大学のテキストから引用したりして、できるだけ分かり易くしてみました。
どうぞ格闘してみてください。
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虚数乗は
e^(iθ) = cos θ + i sin θ（オイラーの公式）
を使う。
この公式は，虚数乗とは何かを示す定義にもなっている。

投稿では紙に鉛筆で書くようにいかないので，e の iθ 乗 を e^(iθ) と書くことにする。

正の数 a に対して方程式 e^x = a の実数解を log a と表し，これを a の対数と呼ぶ。
同様に，複素数 z ≠ 0 に対して方程式 e^z = a の解を log a で表す。
log　が出てきた時，前者後者どちらも見た目が同じで区別しづらいが，ストーリーによって判断する。


複素対数の公式
z = re^(iθ) ≠ 0 (r > 0, θは実数) とするとき
r = e ^(log r) より
log z = log r + (θ + 2mπ)i (m は整数)
= log |z| + (arg z)i

ここで，argは偏角をあらわす。
arg z = θ + 2mπ (m は整数)

複素数をイメージとして捉えるには「複素平面」を利用する。
複素平面上で，　
z ≠ 0 と0（原点）を結ぶ線分と実軸（横軸）の正の方向のなす角を
z の偏角(argument) と呼ぶ。

上記の最後のlog は実数の対数であり，
arg z は+2mπ (mは整数) による周期的な自由度を持つ。

特に z = 1 のとき log z は
log 1 = 0 + 2mπi (mは整数)
つまり，2πi の整数倍となる。

複素数の対数log 1 = 2mπi (mは整数)
もちろん，実数の対数は　log 1 = 0　である。

0 でない複素数z に対して　log z （無限個の複素数）を対応付けるものを
対数関数(logarithmic function) と呼ぶ。
ひとつの数に複数の数を一斉に対応づける関数を
一般に多価関数(multivalued function) と呼ぶ。

複素数 z = a + bi において，
実数b を z の虚部(imaginary part) と呼び
b = Im z
と表す。

複素平面上において，log z の値は縦に並び，その間隔は2πiとなる。
それらのうち最初に考えるであろう周期の範囲
0 ≤ Im (log z) < 2π を満たす値はひとつだけになる。
これを log z の主値(principal value) と呼び，Ｌog zと表す。
この主値は、複素平面上の原点にもっとも近い位置にある。

Log 1 = 0
となり，多価関数ではない。
ひとつの数にひとつの数を対応付ける関数は
一価関数(single-valued function) と呼ぶ。

複素数のi乗は、複素対数の公式を利用する。

z^ix
= (z^i)^x
= ((e^(log z))^i)^x
= e^(i (x log z))
= e^(i (x (log |z| + (arg z)i))　・・・（１）

求める1のi乗は（１）式にて
x = 1, z = 1を代入して

1^i
= e^(i(log |1| + (arg 1)i))
= e^(i(0 + (0 + 2mπ)i))
= e^(2mπ i^2)
= e^(-2mπ)　
（ただし，mは整数）

【備考】 log |1|= 0 + 2mπ, arg 1 = 0 , i^2 = -1

つまり，解が無数に存在することを意味する。

もうひとつ例をあげる。
2のi乗を求めるには（１）式にて
x = 1, z = 2 を代入して

2^i
= e^(i(log |2| + (arg 2)i))
= e^(i(log 2 + (0 + 2mπ)i))
= e^(i log 2 + 2mπ i^2)
= e^(i log 2 - 2mπ)
（ただし，mは整数）

最後に念の為、主値を考える。m = 0を代入して

1^i
= e^(i(Ｌog |1| + (arg 1)i))
= e^(-2mπ)
= e^0
= 1

このように，特別な条件の下では１になる。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/27 00:39

ばれたか。

(笑
そこは、規約です。
log x = ∫[1,x] dz/z は複素多価関数だが、
積分路を制限して一意化するとき、
初期条件から log 1 = 0 になる。
詐欺みたいなもんだけれども。

この回答へのお礼

1の複素数乗は１という事ですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/28 10:31

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/26 23:03

そこで log 1 が「必ず」0 なのか, って問題は考える必要がありますね＞#3.

この回答へのお礼

1の複素数乗は１という事ですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/28 10:31

No.4 回答者： videocam 回答日時： 2013/08/26 20:00

複素数a+biの虚数部のみ考える

x=iのi乗
参考：
　http://ja.wikipedia.org/wiki/I%E3%81%AEi%E4%B9%97

x/x＝(i/i)のi乗
　　＝１のi乗・・・（１）
一方、x/x＝１・・・（２）
（１）（２）より　
１のi乗＝１
ではダメ？

この回答へのお礼

1の複素数乗は１という事ですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/28 10:30

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/26 19:54

x^y を複素数 x,y ヘ拡張したとき

x^y は多価関数となりますが、
x = 1 のときだけは、y が何であっても
x^y = 1 に確定して、安心です。
これは、x^y が定義可能な x,y において
x^y = e^(y log x) が成立するためです。

この回答へのお礼

1の複素数乗は１という事ですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/28 10:30

No.2 回答者： Saturn5 回答日時： 2013/08/26 19:34

指数に複素数が定義されているかどうかは知りませんが、

そうならばグレート義太夫です。
一般に指数関数は値が急激に増えてラッシャーといわれます。
基数が1ではどのような指数であっても変化せず、
そのまんま1になると思い歌えもん。

この回答へのお礼

1の複素数乗は１という事ですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/28 10:30

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/26 19:33

> 1の複素数乗は１ですか？

その通りだと思います。

この回答へのお礼

そうなんですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/28 10:29