数学Bです。 a1=1 an+1=2√anで定められる数列｛an}の一般項は？という問題の解説をお願

数学Bです。
a1=1 an+1=2√anで定められる数列｛an}の一般項は？という問題の解説をお願いします。
両辺を底が10の対数をとる方法で教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/01 23:44

なぜ底 10 を？ 底は何だって同じですよ。

a[1] = 1,
a[n+1] = 2(a[n])^(1/2).
対数をとって、
log a[1] = 0,
log a[n+1] = (log 2) + (1/2)log a[n].　←(1)

x = (log 2) + (1/2)x　←(2)
を満たす x は x = 2(log 2) ですが、
(1)と(2)を左辺どうし右辺どうし引き算すると
log a[n+1] - x = (1/2){log a[n] - x}.
これより、
log a[n] - x = {log a[1] - x}(1/2)^(n-1)　←(3)
とわかります。等比数列ですからね。
(3)に x と a[1] を代入して整理すると、
log a[n] = (log 2)2{1 - (1/2)^(n-1)}
より
a[n] = 4^{1 - (1/2)^(n-1)}.

この計算が、log の底が 10 でも e でも 2 でも
全く同じことだというのが、解りますか？