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画像の質問に答えて頂けないでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

「画像の質問に答えて頂けないでしょうか? 」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 補足で申し訳ありません。


    「i)
    0<r<2
    C={z||z-1|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    z=1は1位の特異点だから
    ...

    a(n)=-1/(-2)^(n+2)」
    に関して、
    特異点z=1の時|z-1|=rは|1-1|=rとなりr=0と導けます。r=0はrの範囲である0<r<2に入らないと思うのですが...なぜ特異点z=1の時、rは0<r<2の範囲に入らないのに式が展開できるのでしょうか?

      補足日時:2022/05/31 14:11
  • すいません。質問を編集致しました。

    >> 展開できるのは
    0<r<2
    z∈C={z||z-1|=r}
    の時
    0<|z-1|<2
    の時
    式が展開できるのです

    ですが、
    「i)
    a=1
    0<r<2
    C={z||z-a|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
    n≧-1の時
    1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|=rの時、z=1でn+2位の極を持つから
    a(n)
    =Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
    ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
    =-1/(-2)^(n+2)」
    より、z=1の時は|z-1|=r
    |1-1|=r r=0となりますが、
    r=0は0<r<2の範囲に含まれませんが、なぜa(n)が導けたのでしょうか?

      補足日時:2022/06/01 18:06
  • なぜ(z-1)^0の項の係数はa(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項の係数a(n)となるのですか?

    どうかわかりやすく教えて頂きたいです。

    特に「a(n)=f(z)の(z-1)^(-1)の項」の部分が何を言いたいのか良くわかりませんでした。

      補足日時:2022/06/03 08:30
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A 回答 (15件中11~15件)

i)


特異点z=1の時、rは0<r<2の範囲に入らない
から
式は展開できません
式が
展開できるのは
0<r<2
z∈C={z||z-1|=r}
の時
0<|z-1|<2
の時
式が展開できるのです
z=1では展開できないのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
特異点z=-1の場合も|z-1|=rより
|-1-1|=r r=2となり、0<r<2の範囲に入りませんが、なぜa(n)が導けたのでしょうか?

また、以前に以下のようにz=1の時にa(n)を導けましたが、z=-1の間違いだったのでしょうか?
「i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
n≧-1
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから
f(z)=Σ_{m=-1~∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1~∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1~∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1~∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)

a(n)=-1/(-2)^(n+2)」

お礼日時:2022/06/01 17:45

展開?


ひょっとしてローラン展開の話?
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この回答へのお礼

はい、そうです。

お礼日時:2022/05/31 15:18

他の人の質問ですか?


「なぜ |z-1|=0<r と作れたのでしょうか」の
「作れた」が意味不明ですね。

「z=1 のときに |z-1|=0<r だから z=1 は C の要素でない」は
著者のミスか写した人のミスで、
「z=1 のときに |z-1|=0 だから z=1 は C の要素でない」が
正解だろうと思います。
内容的には、あなたが言うとおり
「r=0 であるため、r の範囲は 0<r<1 に反する」で ok です。
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違います



z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、かつ正則である

ではなく

z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、正則でない

です

0<r<1
z=1の時に|z-1|=0となり、
|z-1|=0<r
となり
|z-1|=r
とならないから
z=1は
C={z||z-1|=r}
の要素ではないのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
すなわち、

0<r<1
z=1の時に|z-1|=0となり、
|z-1|=0<r
となり
|z-1|=r
とならないから
z=1は
C={z||z-1|=r}
の要素ではない
なおかつ
z=1の時に式f(z)=1/(z^2-1)は分母が0になるため、
正則でないと言えるわけでしょうか?

お礼日時:2022/05/31 13:34

全然話が見えず。


z、r、Cって何?
そもそも問題は何?
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