背理法で a→bであるを示すときに 否定は aであってbではない←① ①の矛盾を示すときに bではな

背理法で

a→bであるを示すときに

否定は aであってbではない←①

①の矛盾を示すときに

bではないときaでないのがない

を示すのっていいんですか？

普通
aであってbでないのがない！ では無いんですか？

質問者からの補足コメント

• 自分なりに考えてみたんですが合ってますか？
  (3と4の違いがわからないです)

  
    補足日時：2022/08/05 14:14

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/07 13:55

補足の図はNo.4に関してでしょうかね。

そうだとして…

[1]〜[4]はどれも同じことを言っているんですから、Venn図にすればどれも同じ図になる。アタリマエです。

この回答へのお礼

自分の説明能力が乏しい中
言いたいことを理解してくれて助かりましたm(_ _)m

お礼日時：2022/08/07 23:55

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/05 10:10

No.1はご質問を読み違えてましたんでやり直し。

> aであってbでないのがない

とか

> bではないときaでないのがない

とか、何言ってんだかわかんないですね。これは命題論理と述語論理がごっちゃになっているんではないかと思います。

　数学の証明で命題論理が出てくることはまずなくて、大抵は述語論理の論理式を扱います。すなわち：

　証明すべきことが
　　∀x P(x) 「すべてのxはP(x)を満たす」
であるとき、背理法で証明するにはその否定
　　∃x(￢P(x)) 「P(x)を満たさないxが存在する」
を仮定します。
　また、証明すべきことが
　　∃x P(x) 「P(x)を満たすxが存在する」
であるとき、背理法で証明するにはその否定
　　∀x(￢P(x)) 「すべてのxはP(x)を満たさない」
を仮定します。

　ここに出てきたP(x)は述語であり、集合を
　　{ x | P(x)}
のように書くときにいつも使うやつです。すなわちxに何か具体的なモノaを代入したP(a)が命題になるような、そういうモノが述語。例えば
　　x>0
というのは述語で、xに1を代入した
　　1>0
は命題ですね。

　さて、P(x)の部分が A(x)→B(x)であっても同じことです。P(x)の否定 ￢P(x)は
　　￢(A(x)→B(x))
　　￢((￢B(x))→(￢A(x)))
　　￢((￢A(x)) ∨ B(x))
　　A(x)∧ ￢B(x)
などなどと同じ意味ですから、例えば
　　∀x (A(x)→B(x))
を背理法で証明する際に仮定するのは、以下のどれでもOKです：
[1] ∃x(￢(A(x)→B(x))) 「「A(x)ならばB(x)である」が成り立たないxが存在する」
[2] ∃x(￢((￢B(x))→(￢A(x)))) 「「B(x)でないならばA(x)でない」が成り立たないxが存在する」
[3] ∃x(￢((￢A(x)) ∨ B(x))) 「「A(x)でないかB(x)である」が成り立たないxが存在する」
[4] ∃x(A(x)∧ ￢B(x)) 「「A(x)でありかつB(x)でないようなxが存在する」

> aであってbでないのがない

とおっしゃるのはおそらく[4]のことでしょうし、

> bではないときaでないのがない

とはおそらく[2]のことでしょう。
　もしそうなら、どちらも正しい、ということです。が、（どれも同じ意味なんだけれども）[4]以外は「…が成り立たないxが存在する」と言っているんで、そのxが一体どういうものなのかがちょっとピンと来ない。なので、[4]の形に表現するのが素直で扱いやすい。

> 普通

とおっしゃるのはそのことだと思います。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/05 05:05

それは対偶証明だね。

aであってbで無いのが無いは普通の証明だし。

a→not bから
cは真とCは偽の両方が導かれてしまうのが背理法
cは何でもいいし、そこに何の決まりもない。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/08/04 20:53

a→b とは、「a ならば b である」と云う意味で使ってますか。

背理法とは 「a ならば b でない」という前提で、
証明を進めて、矛盾が起きる事を 示す 証明方法です。
「bではないときaでないのがない」逆では 証明になりませんよ。
必要・十分条件を 思い出して。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/04 19:53

命題Xを証明するために、「Xの否定を仮定すると矛盾が生じる」というやり方をするのが背理法です。

ご質問の場合なら「(a→b)ではないと仮定すると矛盾が生じる」を証明するんです。「(a→b)ではない」とは、「「aであり、かつbでない」という場合がある」ってことです。