画像において、なぜk>1では絶対収束① k≦1でば条件収束②または発散する（正項級数an>0 ならば

画像において、なぜk>1では絶対収束①
k≦1でば条件収束②または発散する（正項級数an>0 ならば発散する③)
に関して①②③
を具体的な数値を入れて説明して頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すいません。
  
  「s≦1ならば、
  nが無限に大きくなるが、
  nの指数であるsが1以下の時はnが無限に近づくたびに指数であるsにより、
  分母n^sは無限に小さくなる」
  
  は間違えていました。
  
  
  正しくは
  
  「s>0
  a(n)=1/n^s
  の時
  
  Σ_{n=1～∞}a(n)
  =Σ_{n=1～∞}1/n^s 」
  の証明として
  
  s≦1ならば、
  nが無限に大きくなるが、
  nの指数であるsが1以下の時はnが無限に近づくたびに指数であるsにより、
  分母n^sは無限に大きるなる。
  
  具体的にはs=-2として、
  1/n^s=1/n^-2=n^2となり、nは無限に大きくなるため、
  n^2は無限に大きくなります。
  
  しかし、n=1の時は
  1/n^s=1/n^1=1/nとなり、nは無限に無限に大きくなるため、分母のnは分母が大きくため収束すると思うのですが、なぜ発散になるのでしょうか？

    補足日時：2022/08/29 08:02

• 一つ、別の質問があります。
  画像に関しては
  g(z)=tan(z)/(z-π／2)^(n+1)とした時、なぜ、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って積分できなかったのでしたっけ。

  
    補足日時：2022/08/30 15:07

• 別の質問があります。
  
  質問1.
  画像に関しては
  g(z)=tan(z)/(z-π／2)^(n+1)とした時、なぜ、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って積分できなかったでしょうか？
  
  質問2.
  ここでは周期2πの級数展開を導きます。 内積の定義は (f,g)=∫_{-π→π}f(x)g(x)dx です。 今 {1√(2π), (1/√π)cosx,(1√π)sinx, (1√π)cos2x,(1/√π)sin2x,...} の元を順に Φ₀(x)=1/√(2π),Φ₁(x)=(1/√π)cosx,... とおくと、{Φᵢ(x)}_{i=0→∞}が正規直交基底になっています。 と言われたのですが、なぜ{Φᵢ(x)}_{i=0→∞}が正規直交基底になるのかわかりません。
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/09/01 05:32

• f(θ)=sinθ/cosθに関して、
  f(θ)=sinθ/cosθをθ=π/2のまわりでローラン展開したいと思います。
  そこで質問が２つあります。
  
  質問3.
  θ→π/2として、
  なぜ
  f(θ)が負のべき乗を持つ時は発散し、
  f(θ)が負のべき乗を持たない時は収束するのでしょうか？
  
  質問4.
  g(θ)=(θ-π/2)f(θ)に関して、
  θ→π/2として、
  なぜ
  f(θ)のべき乗が(-2)より大きい時は
  lim{θ→π/2}g(θ)は発散し、
  f(θ)のべき乗が(-1)から始まる時は
  lim{θ→π/2}g(θ)は発散しないのでしょうか？
  
  どうか具体的な計算を踏まえて教えていただけるとありがたいです。
  
  これ以上、質問ばかりはmtrajcp様にもご迷惑をお掛けしますし、今もご迷惑をお掛けしているので、どうか、質問を終わらせるために答えて頂けると大変助かります。

    補足日時：2022/09/01 05:43

• 質問5
  マクローリン展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…
  
  ↓両辺をn回数微分すると
  
  {(d/dz)^n}f(z)
  =f^(n)(z)
  =n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
  ↓z=0とすると
  f^(n)(0)=n!a(n)
  ↓両辺をn!で割ると
  (1/n!)f^(n)(0)=a(n)
  ∴
  a(n)=(1/n!)f^(n)(0)
  
  に関して、
  
  どうやってf^(n)(z)から
  n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
  を導いたのかわかりません。どうか教えて下さい。
  
  また、なぜz=0としたのでしょうか？

    補足日時：2022/09/01 07:30

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/30 19:53

定理(ガウスの判定法)の

k>1の時の証明)

0にならない数列{a(n)}に対し
lim_{n→∞}c(n)=0
となる
ある数列{c(n)}を用いて
|a(n)/a(n+1)|=1+k/n+c(n)/(nlogn)…(1)
と表せるとする

k>1の時
k>s>1となるsがある
b(n)=1/n^s
x=1/n
f(x)=(1+x)^s
とすると
テイラーの公式
f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(θx)(x^2)/2
(0<θ<1)
から
f(0)=1
f'(x)=s(1+x)^(s-1)
f'(0)=s
f"(x)=s(s-1)(1+x)^(s-2)
d(n)=f"(θ/n)/2
とすると
d(n)/n^2
=f"(θ/n)/(2n^2)=s(s-1)(1+θ/n)^(s-2)/(2n^2)


|b(n)/b(n+1)|
=(n+1)^s/n^s
={(n+1)/n}^s
=(1+1/n)^s
=f(0)+f'(0)x+f"(θx)(x^2)/2
=1+s/n+f"(θ/n)/(2n^2)
=1+s/n+d(n)/n^2…(2)

(1),(2)から
|a(n)/a(n+1)|-|b(n)/b(n+1)|=(k-s)/n+c(n)/(nlogn)-d(n)/n^2
k-s>0だからあるn_0があってn≧n_0の時
|a(n)/a(n+1)|>|b(n)/b(n+1)|
|a(n)|/|b(n)|>|a(n+1)|/|b(n+1)|
A=|a(n_0)|/|b(n_0)|
とすると
n≧n_0となる任意の自然数nに対して
|a(n)|≦A|b(n)|
Σ_{n=n_0～m}|a(n)|≦AΣ_{n=n_0～m}|b(n)|
Σ_{n=n_0～∞}|a(n)|≦AΣ_{n=n_0～∞}|b(n)|
s>1だからΣ_{n=n_0～∞}|b(n)|が収束するから
Σ_{n=n_0～∞}|a(n)|も収束する
∴
k>1ならばΣ_{n=1～∞}a(n)は絶対収束する

この回答へのお礼

ありがとうございます。
こちらが、質問に関する回答でしょうか？

お礼日時：2022/08/31 16:24

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/30 19:25

補題1)

s>0
Σ_{n=1～∞}1/n^s
は
s>1 ならば収束し
0<s≦1 ならば発散する
-----------------
s>1の時の証明)

s>0
n<x<n+1 の時
n^s<x^s<(n+1)^s
1/(n+1)^s<1/x^s<1/n^s
1/(n+1)^s<∫_{n～n+1}(1/x^s)dx<1/n^s
n≧2の時
∫_{n～n+1}(1/x^s)dx<1/n^s<∫_{n-1～n}(1/x^s)dx
s>1の時
Σ_{n=2～m}1/n^s
<∫_{1～m}(1/x^s)dx
<∫_{1～∞}(1/x^s)dx
=[1/x^(s-1)/(1-s)]_{1～∞}
=1/(s-1)
だから
s>1の時
Σ_{n=1～∞}1/n^s
は収束する

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/30 17:58

間違えました訂正です

a(n)ではなく
Σ_{n=1～∞}a(n)でした

あなたは

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するから

Σ_{n=1～∞}a(n)が収束する

といっているのです
だけれども

k≦1の時

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するけれども

Σ_{n=1～∞}a(n)は収束しないのです

だから

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するから

Σ_{n=1～∞}a(n)が収束するという論理は成り立たないのです

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/30 16:50

あなたは

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するから

a(n)が収束する

といっているのです
だけれども

k≦1の時

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するけれども

a(n)は収束しないのです

だから

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するから

a(n)が収束するという論理は成り立たないのです

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/30 11:15

1が収束するのではありません

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するのです

k≦1の時も
|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するのです

k≦1の時a(n)は発散するから

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束する事だけを理由として

a(n)は収束するといってはいけないのです

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束する事以外の他の理由で
a(n)は収束する事を示すべきなのです

この回答へのお礼

えーと、k>1の時
|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束する。


「k≦1の時も
|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束するのです

k≦1の時a(n)は発散するから

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束する事だけを理由として

a(n)は収束するといってはいけないのです

|a(n)/a(n+1)|
が
1に収束する事以外の他の理由で
a(n)は収束する事を示すべきなのです」
では、k/nとCn/nlognが収束するから、結果的に|a(n)/a(n+1)|が収束するとかですか？

mtrajcpさんより賢くない私に理由を唱えてもわからないものはわかりません。
ですのでお手数をお掛けしますが、わかりやすくい図など書いて早く問題を終わらせましょう。
あるいは、質問自体を消します。

これ以上、mtrajcpさんにご迷惑をお掛け出来ません。
申し訳ありません。

お礼日時：2022/08/30 14:59

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/30 04:08

「

残った 1 は定数のままで変化はないため
」
|a(n)/a(n+1)|=1+k/n+c(n)/(nlogn)
は
1に収束するけれども
a(n)は収束するとはいえません間違いです

この回答へのお礼

では。1が収束する事で、a(n)は発散するのでしょうか？

あの、基本的にかいとうをくださるのがmtrajcpさんなので個人でやりとり出来ないでしょうか？

お礼日時：2022/08/30 05:14

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/30 02:10

なんかもうめっちゃくちゃだなぁ....

k=2 の
「残った1は定数のままで変化はないため収束します。
よって、絶対収束します。」
の前半で, 「残った 1 は定数のままで変化はないため」＊何が＊収束するといっているのか, そして後半「よって絶対収束します」というのは＊何が＊＊どういう理由で＊絶対収束するといっているのか.

ｋ=1 のときには k=2 と同じようなことをいっていながら
「残った1は定数のままで変化はないため収束します。
そのため、条件収束します。」
と最後の結論が違うのはなぜなのか. そしてこれも前半は＊何が＊収束するといっていて後半は＊何が＊＊どういう理由で＊条件収束するといっているのか.

そして最後のところは, どうして
「仮にa(n)とa(n+1)が0にならない数列(正項級数)の場合、
具体的にa(n)=n、a(n+1)=n+1となる」
といえるのか. 例えば a(n) = √n (従って a(n+1) = √(n+1)) のような可能性がなぜ排除されるのか.

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/29 19:54

s>0

a(n)=1/n^s
の時

Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}1/n^s
に関してs=1の時、
=Σ_{n=1～∞}1/n=∞
に発散する事がわかったのならば

0<s<1 の時
n^s≦n
n≧n^s
1/n^s≧1/n
だから
Σ_{n=1～∞}1/n^s≧Σ_{n=1～∞}1/n=∞
だから
0<s<1 の時も
Σ_{n=1～∞}1/n^s=∞
に発散するといえるのです

この回答へのお礼

なるほど、話を戻し、
k>1の時、
具体的にk=2として、
k/nはnは無限に大きくなるので、k/nは収束します。
Cn/nlognはCは0へ近づき、nlognは大きくなるためCn/nlognは収束します。
残った1は定数のままで変化はないため収束します。
よって、絶対収束します。

k≦1の場合
k/nのkは=1として、nは大きくなるためk/nは収束する。
Cn/nlognはCは0へ近づき、nlognは大きくなるためCn/nlognは収束します。
残った1は定数のままで変化はないため収束します。
そのため、条件収束します。

しかし、仮にa(n)とa(n+1)が0にならない数列(正項級数)の場合、
具体的にa(n)=n、a(n+1)=n+1となるので、
a(n)=n、a(n+1)=n+1の二つの式より、
Σn=1〜∞により
a(n+1)は常にa(n)より値が大きいため、
|a(n)/a(n+1)|は分母が常に分子より大きくなるため|a(n)/a(n+1)|は発散する。
そのため、右辺の式も左辺|a(n)/a(n+1)|に合わせて右辺1+k/n+Cn/nlognは発散する。

と考えています。

お礼日時：2022/08/29 22:02

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/29 16:11

「

確かに0<s≦1ならsには小数点の値(分数)しか入らないため、無限になります
」
の
「
無限になります
」は
何が無限になるというのでしょうか?

0<s≦1であってもs>1と同様に
n→∞の時
分母
n^s
が無限になるというのならよいだけれども
1/n^s は0に近づくのだから1/n^sが無限になるというのは間違いです

この回答へのお礼

s>0
a(n)=1/n^s
の時

Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}1/n^s
に関してs=1の時、

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+･･･
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)
+(1/9+1/10+･･･+1/16)+(1/17+1/18+･･･+1/32)+
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)
(1/16+1/16+･･･+1/16)+(1/32+1/32+･･･+1/32)+･･･
=1+1/2+1/2+1/2+1/2+･･･
で1/2の無限個の和なので発散します。

お礼日時：2022/08/29 17:30

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/29 10:36

s>1の時も

0<s≦1の時も
どちらも
n→∞の時
分母n^sが∞に大きくなり
1/n^sが0に近づく
と
なって
そのような方法では証明できない
と
いうのはわかりますか?

この回答へのお礼

あの、お金払うので個人でめちゃくちゃわかりやすく、具体例とか実際の値を入れたりした説明付きで導き方とかだけを教えて頂けませんか？

お礼日時：2022/08/30 03:22