画像において、なぜk>1では絶対収束① k≦1でば条件収束②または発散する（正項級数an>0 ならば

画像において、なぜk>1では絶対収束①
k≦1でば条件収束②または発散する（正項級数an>0 ならば発散する③)
に関して①②③
を具体的な数値を入れて説明して頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すいません。
  
  「s≦1ならば、
  nが無限に大きくなるが、
  nの指数であるsが1以下の時はnが無限に近づくたびに指数であるsにより、
  分母n^sは無限に小さくなる」
  
  は間違えていました。
  
  
  正しくは
  
  「s>0
  a(n)=1/n^s
  の時
  
  Σ_{n=1～∞}a(n)
  =Σ_{n=1～∞}1/n^s 」
  の証明として
  
  s≦1ならば、
  nが無限に大きくなるが、
  nの指数であるsが1以下の時はnが無限に近づくたびに指数であるsにより、
  分母n^sは無限に大きるなる。
  
  具体的にはs=-2として、
  1/n^s=1/n^-2=n^2となり、nは無限に大きくなるため、
  n^2は無限に大きくなります。
  
  しかし、n=1の時は
  1/n^s=1/n^1=1/nとなり、nは無限に無限に大きくなるため、分母のnは分母が大きくため収束すると思うのですが、なぜ発散になるのでしょうか？

    補足日時：2022/08/29 08:02

• 一つ、別の質問があります。
  画像に関しては
  g(z)=tan(z)/(z-π／2)^(n+1)とした時、なぜ、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って積分できなかったのでしたっけ。

  
    補足日時：2022/08/30 15:07

• 別の質問があります。
  
  質問1.
  画像に関しては
  g(z)=tan(z)/(z-π／2)^(n+1)とした時、なぜ、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って積分できなかったでしょうか？
  
  質問2.
  ここでは周期2πの級数展開を導きます。 内積の定義は (f,g)=∫_{-π→π}f(x)g(x)dx です。 今 {1√(2π), (1/√π)cosx,(1√π)sinx, (1√π)cos2x,(1/√π)sin2x,...} の元を順に Φ₀(x)=1/√(2π),Φ₁(x)=(1/√π)cosx,... とおくと、{Φᵢ(x)}_{i=0→∞}が正規直交基底になっています。 と言われたのですが、なぜ{Φᵢ(x)}_{i=0→∞}が正規直交基底になるのかわかりません。
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/09/01 05:32

• f(θ)=sinθ/cosθに関して、
  f(θ)=sinθ/cosθをθ=π/2のまわりでローラン展開したいと思います。
  そこで質問が２つあります。
  
  質問3.
  θ→π/2として、
  なぜ
  f(θ)が負のべき乗を持つ時は発散し、
  f(θ)が負のべき乗を持たない時は収束するのでしょうか？
  
  質問4.
  g(θ)=(θ-π/2)f(θ)に関して、
  θ→π/2として、
  なぜ
  f(θ)のべき乗が(-2)より大きい時は
  lim{θ→π/2}g(θ)は発散し、
  f(θ)のべき乗が(-1)から始まる時は
  lim{θ→π/2}g(θ)は発散しないのでしょうか？
  
  どうか具体的な計算を踏まえて教えていただけるとありがたいです。
  
  これ以上、質問ばかりはmtrajcp様にもご迷惑をお掛けしますし、今もご迷惑をお掛けしているので、どうか、質問を終わらせるために答えて頂けると大変助かります。

    補足日時：2022/09/01 05:43

• 質問5
  マクローリン展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…
  
  ↓両辺をn回数微分すると
  
  {(d/dz)^n}f(z)
  =f^(n)(z)
  =n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
  ↓z=0とすると
  f^(n)(0)=n!a(n)
  ↓両辺をn!で割ると
  (1/n!)f^(n)(0)=a(n)
  ∴
  a(n)=(1/n!)f^(n)(0)
  
  に関して、
  
  どうやってf^(n)(z)から
  n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
  を導いたのかわかりません。どうか教えて下さい。
  
  また、なぜz=0としたのでしょうか？

    補足日時：2022/09/01 07:30

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/29 09:59

1行目にs>0と書いてあります

s>1の時も
0<s≦1の時も
どちらも
n→∞の時分母n^sが∞に大きくなり
1/n^sが0に近づくのに
なぜ
s>1 ならば収束し
0<s≦1 ならば発散する
のか
わかりますか?

「
s>0……←ここに書いてある
a(n)=1/n^s
の時

Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}1/n^s
は
s>1 ならば収束し
0<s≦1 ならば発散する
」

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/29 09:38

「

s>0
a(n)=1/n^s
の時

Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}1/n^s
は
s>1 ならば収束し
s≦1 ならば発散する
」
の証明として
「
具体的にはs=-2として、
」は間違いですsは負にはなりません
0<s≦1
です
s=1/2として下さい

0<s≦1ならば、
nが無限に大きくなるが、
nの指数であるsが1以下の時はnが無限に近づくたびに指数であるsにより、
分母n^sは無限に小さくなるというのは間違いです
例えば
s=1/2の時
分母n^s=√nは無限に大きくなります

この回答へのお礼

ありがとうございます。

0<s≦1だと初めて知りました。
確かに0<s≦1ならsには小数点の値(分数)しか入らないため、無限になりますね。

なぜ、今まで0<s≦1と書いてくれなかったのですか？m(_ _)m

また、できればs=1の場合にも答えて頂きたいです。

お礼日時：2022/08/29 09:43

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/29 03:56

「

s>0
a(n)=1/n^s
の時

Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}1/n^s
は
s>1 ならば収束し
s≦1 ならば発散する
」
の証明として

s≦1ならば、
nが無限に大きくなるが、
nの指数であるsが1以下の時はnが無限に近づくたびに指数であるsにより、
分母n^sは無限に小さくなるというのは間違いです
例えば
s=1/2の時
分母n^s=√nは無限に大きくなります

「
s>0
a(n)=1/n^s
の時

Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}1/n^s

s>1 ならば収束し
s≦1 ならば発散する
」
の証明をやりなおして下さい
これを使って
ガウスの判定法の定理を証明するのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

発散と収束で、疑問点があります。

f(θ)=sinθ/cosθに関して、
f(θ)=sinθ/cosθをθ=π/2のまわりでローラン展開したいと思います。
そこで質問が２つあります。

質問1.
θ→π/2として、
なぜ
f(θ)が負のべき乗を持つ時は発散し、
f(θ)が負のべき乗を持たない時は収束するのでしょうか？

質問2.
g(θ)=(θ-π/2)f(θ)に関して、
θ→π/2として、
なぜ
f(θ)のべき乗が(-2)より大きい時は
lim{θ→π/2}g(θ)は発散し、
f(θ)のべき乗が(-1)から始まる時は
lim{θ→π/2}g(θ)は発散しないのでしょうか？

どうか教えてください。

お礼日時：2022/08/29 07:42

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/28 06:13

では

「
s>0
a(n)=1/n^s
の時

Σ_{n=1～∞}a(n)
=Σ_{n=1～∞}1/n^s
は
s>1 ならば収束し
s≦1 ならば発散する
」
を
証明してみてください。

この回答へのお礼

証明として。
s>1について、
nが無限に大きくなり、nの指数であるsが2より大きいならば、収束します。

s≦1ならば、nが無限に大きくなるが、nの指数であるsが1以下の時はnが無限に近づくたびに指数であるsにより、分母n^sは無限に小さくなるため、例えば、1/0.001=1000、1/0.0001=10000となり発散します。
ですがs=1の時は、1/n^1=1/1=1となるため
なぜ発散するのかわかりません。

質問においては
k/n以外に1とCn/n log nもあるため、
なぜk>1では絶対収束①して、
k≦1でば条件収束または発散する（正項級数an>0 ならば発散する③)のかわかりません。

どうか教えてください。

お礼日時：2022/08/29 03:27

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/27 22:12

どこかで証明をさがしてそれに「具体的な数値を入れ」てみればいいんじゃね?

この回答へのお礼

ありがとうございます。
その具体的な数値を入れては見ました。

①においてはKが2だとして、n→∞なので、
K/n=2/∞となり、分母が∞であるため、0？になると思うのですが、これが絶対収束なわけでしょうか？

お礼日時：2022/08/28 00:44