微積の数学の質問です。 発散、収束とはなんですか？ 0.0000000001/0.02 収束0.04

微積の数学の質問です。
発散、収束とはなんですか？
0.0000000001/0.02 収束0.04/0.00000000001 発散
0.000002/0.000003 収束

らしいのですが、これらの違いはなんですか？

何をしたら収束で発散なのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい、質問し直します。
  自分の質問の仕方が悪かったのだと思います

    補足日時：2023/07/05 18:55

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/03 20:19

数列{a(n)}

とxに対して
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a(n)-x|<ε
となるとき
数列{a(n)}はxに収束するという
そのようなxが存在しないとき
{a(n)}は発散するという

{1/n}
任意のε>0に対して
n_0>1/ε
となる自然数n_0が存在する
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|1/n-0|=1/n<1/n_0<ε
だから
数列{1/n}は0に収束する

0.0000000001/0.02
0.04/0.00000000001
0.000002/0.000003
は
単なる定数だからすべて収束

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/03 19:52

関数 f があって、x がある値 a に近づくとき、

f(x) がある値 b に近づくならば lim[x→a] f(x) は b へ「収束する」といい、
f(x) が一定の値に近づかないならば、「発散する」という。
ちなみに、「振動する」は「発散する」の中の特殊なものである。

質問の
0.0000000001/0.02
0.04/0.00000000001
0.000002/0.000003
は、どれも定数であって関数ではないから、
どれかが収束したりどれかは発散したりすることは無い。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/07/03 14:49

発散；変数xが大きくなると、関数f(x)が+∞、又は-∞になる事

収束；変数xが大きくなると、関数f(x)が一定値に向かうこと(除±∞)。
振動；変数xが大きくなると、関数f(x)が一定の範囲で大小を繰返すこと
の3種類になります。

ご提示のものは、変数を含まない、単なる分数なので、
これらには該当しません。

No.1 回答者： heidfeld 回答日時： 2023/07/03 14:35

上記の3つは数値が決まっているので、収束や発散でもなく、決まった値になりますが、

例えば、xという変数を大きな数に永久に増やし続けていくと、どこまでも大きな数になっていくのは感覚的に分かりますね。

でもどこまでも大きな数に増えていっても、永久に増え続けるので終わりがないです。

無限大という言葉がありますが、「無限大」という決まった数値のところで増加が止まるわけではなく、これからもどんどん増え続けていきます。
終わりは無いです。

この状態を「無限大に向かって発散していく」と言います。
止まるところを知らず永久に増え続ける状態ですね。

では一方で、
「1/x」のxを永久に増やし続けると…
分母の数字は終わりがなく永久に増え続けていきます。終わりがないのです。

そうすると、1/xは徐々に小さくなっていきますよね。

0.5 、0.07、0.00005、0.000000001、、
という感じでどんどん小さくなっていきます。

0.000000000000000000000000032
0.0000000000000000000000000000000006

これはもうほぼほぼ0に近いですよね。
それでもさらに小さくなっていきます。
これに終わりはないです。

しかしこれはいつまで経っても完全には0にはなりませんが、限りなく0に近づいているというのは見えていますよね。

こういう場合、「0に向かって収束していっている」と言います。

なので、xの極限を考えた時、その数値がいくらでも大きくなっていくような時は発散、ある数値に近づいているときは収束と言います。