統計学についての質問です

2つの金融資産x,yに関して、今後年間の期待収益率をそれぞれZx,Zyとする。手持ちの資金の100•α%を資産xに、100•(1-α)を資産yび投資するプランをプランAと呼び、この収益率をZaとする。
ただし、Zx〜N(μx,σx^2),Zy〜N(μy,σy^2)
cov[Zx,Zy]=E[(Zx-μx)(Zy-μy)]=ρσxσy
μx<μy, 0<σx^2<σy^2, 0<=α<=1とする

このときv[Za]=α^2•σx^2+(1-α)^2•σy^2
+2α(1-α)ρ•σx•σyまでは求められたのですが、
(1)この導出した分散が最小になる投資比率αと、(2)そのαの下で分散がゼロとなる、あるいはゼロとならないような状況はどのような時かをσx^2,σy^2,ρのうち必要なものを使って説明しなさい
という2つの問題が分かりません。

どなたか統計学が出来る方教えてくださると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/29 14:01

まず、プランA の収益率は

　Za = αZx + (1 - α)Zy
ですよね？

その期待値は
　E[Za] = α*μx + (1 - α)*μy
分散は、X, Y が独立ではないので
　V[Za] = α^2*V[Zx] + (1 - α)^2*V[Zy] + 2α(1 - α)Cov(Zx, Zy)
　　　　= α^2*σx^2 + (1 - α)^2*σy^2 + 2α(1 - α)ρ*σx*σy
　　　　= α^2*σx^2 + (1 - 2α + α^2)*σy^2 + 2α*ρ*σx*σy - 2α^2*ρ*σx*σy
　　　　= (σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy)α^2 - 2(σy^2 - ρ*σx*σy)*α + σy^2

これは「α を変数とする二次式」ですから、高校数学でよくやる「二次関数の最大、最小」の問題です。

相関係数の定義から -1≦ρ≦1 なので、σx^2<σy^2 より二次項の係数は
　σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy > 0
ですから、平方完成形にすれば「最小値」とそのときの α の値が求まります。

やってみれば
　V[Za] = (σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy)α^2 - 2(σy^2 - ρ*σx*σy)*α + σy^2
= (σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy){α^2 - 2[(σy^2 - ρ*σx*σy)/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy)]*α} + σy^2
= (σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy){α - (σy^2 - ρ*σx*σy)/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy)}^2 - (σy^2 - ρ*σx*σy)^2/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy) + σy^2

従って、これが最小になるのは
　α = (σy^2 - ρ*σx*σy)/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy)　　　①
のとき。
最小値は
　-(σy^2 - ρ*σx*σy)^2/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy) + σy^2　　　②

①が (1) の答でしょう。

(2) は、②を変形（通分）して
　-(σy^2 - ρ*σx*σy)^2/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy) + σy^2
= (σx^2*σy^2 + σy^4 - 2ρ*σx*σy^3 - σy^4 + 2ρ*σx*σy^3 - ρ^2*σx^2*σy^2)/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy)
= (1 - ρ^2)σx^2*σy^2/(σx^2 + σy^2 - 2ρ*σx*σy)

これは ≧ 0 であり、= 0 になるのは
　σx^2 = 0 または σy^2 = 0 または ρ^2 ＝１
のとき。
0<σx^2<σy^2 という条件より
　σx^2 ≠ 0, σy^2 ≠ 0
なので、分散が 0 になるのは
　ρ ＝ ±1
のとき。
つまり相関係数が「±1」のとき。

面倒くさい計算なので、どこかで間違えているかもしれません。
自分でやってみてください。

この回答へのお礼

なるほど！求めたい文字でまとめるという発想がありませんでした。自分でも計算してみたところ同じ解答が導けました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/30 14:49