二次体K=Q(√-31)について、整数環O_Kにはノルムが3となるイデアルは存在しないことを示せ。

二次体K=Q(√-31)について、整数環O_Kにはノルムが3となるイデアルは存在しないことを示せ。
よろしくお願いいたします

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/03 16:45

#2です#3の方の通り訂正します

(a+b√-31)のノルム
a^2+31b^2=3　と仮定すると
a^2=3(mod31)となるけれども

30^2=(31-1)^2=1^2=1(mod31)
29^2=(31-2)^2=2^2=4(mod31)
28^2=(31-3)^2=3^2=9(mod31)
27^2=(31-4)^2=4^2=16(mod31)
26^2=(31-5)^2=5^2=25(mod31)
25^2=(31-6)^2=6^2=36=31+5=5(mod31)
24^2=(31-7)^2=7^2=49=31*2-13=-13(mod31)
23^2=(31-8)^2=8^2=64=31*2+2=2(mod31)
22^2=(31-9)^2=9^2=81=31*3-12=-12(mod31)
21^2=(31-10)^2=10^2=100=31*3+7=7(mod31)
20^2=(31-11)=11^2=121=31*4-3=-3(mod31)
19^2=(31-12)^2=12^2=144=31*5-11=-11(mod31)
18^2=(31-13)^2=13^2=169=31*5+14=14(mod31)
17^2=(31-14)^2=14^2=196=31*6+10=10(mod31)
16^2=(31-15)^2=15^2=225=31*7+8=8(mod31)
だから

a^2=3(mod31)となるaは存在しない

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/03 14:33

惜しい。

a+b√-31 のノルムは a^2＋31b^2 だよ。
a^2=3(mod31) 以降の計算は同じだけれども。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/03 04:20

(a+b√-31)のノルム

a^2-31b^2=3　と仮定すると
a^2=3(mod31)となるけれども

30^2=(31-1)^2=1^2=1
29^2=(31-2)^2=2^2=4
28^2=(31-3)^2=3^2=9
27^2=(31-4)^2=4^2=16
26^2=(31-5)^2=5^2=25
25^2=(31-6)^2=6^2=36=31+5=5(mod31)
24^2=(31-7)^2=7^2=49=31*2-13=-13(mod31)
23^2=(31-8)^2=8^2=64=31*2+2=2(mod31)
22^2=(31-9)^2=9^2=81=31*3-12=-12(mod31)
21^2=(31-10)^2=10^2=100=31*3+7=7(mod31)
20^2=(31-11)=11^2=121=31*4-3=-3(mod31)
19^2=(31-12)^2=12^2=144=31*5-11=-11(mod31)
18^2=(31-13)^2=13^2=169=31*5+14=14(mod31)
17^2=(31-14)^2=14^2=196=31*6+10=10(mod31)
16^2=(31-15)^2=15^2=225=31*7+8=8(mod31)
だから

a^2=3(mod31)となるaは存在しない

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2022/12/02 22:54

示して下さいッ！