【微積分】 リーマン積分 分割の幅

リーマン積分で分割の幅の中で1番大きい幅δを0に近づけるというものがありますがこれがわかりません。δは定数ではないのでしょうか？定数でもδ→0みたいなことはできるのでしょうか？それともδは変数みたいなものなのでしょうか？

またδ→0のとき、まずはじめに1番大きい幅を0に近づけて、その次に2番目に大きかった幅を0に近づけて……….というような操作なのでしょうか？それとも分割それぞれにルールみたいなものがあり、1番大きい幅δを0に近づければそのルールにしたがってそれぞれの幅が小さくなるという感じですか？

また区間[a,b]を分割をするとしてある分割Δを考えて
a=x[0]<x[1]<x[2]<………<x[n]=b
のように分割の点に数をふって行った場合、δ→0のときnの値はどうなってしまうのでしょうか。そもそもこのnは定数なのでしょうか？変数なのでしょうか？

教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• δ→0はだいたいわかりました。例えばδ→1ならδ→1の操作後の分割の最大の幅は1以下ということですよね。操作前から最大の幅が1以下だったらその分割でもよくて、操作前に最大の幅が2だったらその幅は1/2にして別の幅を1にするみたいな分割でもよくて(もちろん区間の長さも考える必要はある)、とにかく1以下になっていれば良いということです。
  
  δ→0ならn→∞の方は、感覚的にはわかりますが具体的なある分割を考えないと計算できないのでしょうか？それとも何か証明などはあるのでしょうか？(nがδに依存する変数であることはわかりました)

    補足日時：2022/12/17 00:50

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/16 19:55

＞ δは定数ではないのでしょうか？

定数ってのは、π とか e とか値の決まってるやつのことです。
その δ は、当然変数です。

＞ まずはじめに1番大きい幅を0に近づけて、
＞ その次に2番目に大きかった幅を0に近づけて……….
＞ というような操作なのでしょうか？

違います。
その考え方では、はじめに１番大きかった幅を 0 に近づけたときに
それがはじめに2番目に大きかった幅より小さくなった後
どう操作したらいいのか判らなくなってしまうでしょう？

δ を小さくしてゆくとき、 大きいほうから 2番目以下の幅は
どのように変化しても(たとえば大きくなったって)よくて、
全ての幅が δ 未満になることだけは守って変化するという意味です。

＞ δ→0のときnの値はどうなってしまうのでしょうか。
＞ そもそもこのnは定数なのでしょうか？変数なのでしょうか？

δ→0 のとき n→∞ に発散します。
ｎ も、当然変数です。(δ に依存する従属変数)

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/17 04:03

例えば

区間I=[0,1]
に対して
f(x)=x
Δ_n={x[k]=k/n}_{k=0～n}
とすると
Δ_nはIのn等分割になる
Δ_nの分割幅はδ=δ_n=1/nである

Δ_1の分割幅はδ=δ_1=1であるから
δ→1なら
Σ_{k=0～1}x[k]δ1=0
は
f(x)=x
の積分にならない

∫_{0～1}f(x)dx
=lim_{n→∞}Σ_{k=0～n}f(x[k])δ_n
=lim_{n→∞}Σ_{k=0～n}(k/n^2)
=lim_{n→∞}n(n+1)/(2n^2)
=1/2

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/17 01:45

前半は何を言っているかわからない。

条件さえ満たせば、どんな分割であっても、ただ１つの値に収束する
というダルブーの定理がある。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/16 19:31

例えば

a<b
区間I=[a,b]
に対して
Δ_n={x[k]=a+k(b-a)/n}_{k=0～n}
とすると
Δ_nはIのn等分割になる
Δ_nの分割幅はδ=(b-a)/nである

n→∞のとき
δ=(b-a)/n→0
となる

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/16 19:27

定義は

　∀ε>0,∃δ>0, d(Δ)<δ → |s(f;δ;ξ)-J|<ε・・・・①
です。これを簡略して
　d(Δ) → 0 のとき、s(f;δ;ξ) → J
と書いています。

極限の定義
　∀ε>0,∃δ>0, |x-a|<δ → |f(x)-A|<ε
を
　x → a のとき(あるいは |x-a| → 0)、f(x) → A
と書くみたいなものです。

あなたの言うδはd(Δ)に対応している。δ(d(Δ))は定数とは言えま
せんが変数と言えるかどうか。

>またδ→0のとき、まずはじめに1番大きい幅を0に近づけて、・・・<
●そんな細かいことは言ってません。ある分割を作って(分割数も
任意)、その最大値を0に近づけるだけ(正確な意味は①)。

>δ→0のときnの値はどうなってしまうのでしょうか。そもそもこのnは定数なのでしょうか？変数なのでしょうか？<
●上のようにnはもちろん任意で定数ではないし、変数と言えるか
どうか。そして、nを決めて分割した後、δ(d(Δ)) → 0を決めてい
る(当然、nは大きくすることが前提)。

そして、くどいが、δ(d(Δ)) → 0の意味は①。