純粋数学と応用数学の違いについて、皆さんの考えを教えていただきたいです。 特に、純粋数学にはない応用

純粋数学と応用数学の違いについて、皆さんの考えを教えていただきたいです。
特に、純粋数学にはない応用数学の違いが知りたいです。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/11 15:26

純粋数学は、数学を作る過程。

応用数学は、作られた数学を道具として使う過程。
純粋数学 → 数学、
応用数学 → 算数 と言い換えたほうが、
内容がすっきり伝わると思う。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/11 14:12

No.2 の続き。

> 特に、純粋数学にはない応用数学の違い

　フーリエは熱方程式を解く手段としてフーリエ変換を開発しました。「どんな関数も三角関数の線形和で表せる」ということを前提にしてカンペキな解を示したわけで、実際、熱方程式を解く必要がある現実の課題で出てくる可能性がある関数ならば、どんな場合でもフーリエのやりかたでOKであることは容易に示せる。だから、応用数学としてはこれで目的を完全に達している。（さらに、フーリエ変換が波動の研究に必須のツールとして著しく普及したことはご存知でしょう。）
　ですが、発表したとたんに「どんな関数も？三角関数の？線形和で？表せる？ウソでしょ」という批判が生じます。それに対してフーリエは「グラフが描けるような関数ならなんでも」と答えています。あほかあ、そんなもん答になるかあ、数学としてまるで不十分であるというんで、「ダメなのはどんな関数で、どんな関数ならイケるのか」という研究がはじまります。そのためにはまず関数全体がなす空間ってものを考えて…という具合で、応用数学が純粋数学を派生したんです。研究成果のひとつとして、超関数論が構築されます。（超関数は「グラフが描けるような関数」どころか関数ですらないのだけれども、それでもフーリエ変換が使える。）
　すると今度は超関数が様々な現実の問題に応用されます。たとえばCT装置で画像を作る計算の理論に使われています。CTの理論では元々は大変ややこしい定式化（ノーベル賞を獲ってます）を使って議論していたのですが、超関数を使って問題を記述するとあきれるほどシンプルな解法が自明に得られ、その解の挙動も非常に見通しが良い。

　というわけで、純粋数学と応用数学をはっきり区別できないような領域は広くて、その領域では、強いて言えば
● 出発となる題材をどこに取るか
● 解の存在条件とか、どこまで一般化できるかとか、そーゆー「ウルサイ」ことをどこまでホンキで追求するか
あたりに「スタンス」の違いが出るのかなと。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/11 14:10

これ読むと面白いかも。

『ある数学者の弁明』　ハーディ
https://ymatz.net/hardy/

応用数学にたいして、、なかなか辛辣です(^^;

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2023/01/11 13:54

>>純粋数学にはない応用数学

それは有り得ません。応用数学も純粋数学をそのまま使ってます。

純粋数学は定義・公準を出発点として論理演繹を行なって得られた体系そのものを研究するもの。
それが役に立つのか、純粋数学の別分野に役に立つのかは関係有りません。
体系に矛盾が無ければ良いのです。

純粋数学では数そのもの(自然数、整数、有理数、実数、複素数）を扱う分野、構造(集合論、群論、グラフ理論など）を扱う分野、空間（幾何、三角関数など）を扱う分野、極限（微積、解析、カオスなど）を扱う分野などになってます。

応用数学は、確率・統計・ゲーム理論・暗号・制御理論・経済など、幅広く使われていて、ベースは純粋数学です。

余談ですが、測量では角度(°）を用いて、建物の高さや川幅を三角関数を使って計算してます。
勿論それで正しい答えが得られますが、この(°）は純粋数学では定義が出来ない為、rad(ラジアン：円の半径に対する弦・弧の比の値）を使います。
(1°を数値的に定義する式が作れないからです。）

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/11 13:09

純粋数学は「面白い」という価値観だけで自己完結している。

明確にそういう思想を謳っている「運動(movement)」です。江戸時代に大衆の間で著しく発達した「和算」は数学を芸事、趣味と捉えている。成果を得たら、仲間うちに見せびらかして賞賛を受け、神社に算額を奉納する。塾を開く人もいるけれども、（今のアホ大学みたいに「じゅぎょう」をやることよりも）年齢身分性別の差など全く関係なしに議論しアイデアを出し合うのを楽しむゼミの場を提供する。それだけです。だから、これは純粋数学です。芸術として捉えれば、最も純粋な芸術だと言えるでしょうね。
　応用数学は「実用」という出口を持っているという意味では、工学に近いでしょう。とは言っても、その程度は様々です。これをたとえるなら、東京スカイツリーもドバイのブルジュハルファも自由の女神像もギザのピラミッドも、どれも「でっかい建造物」である。で、それぞれどんな実用性を持つか、という話もできるけれども、（その実用においてデカさや造形がほんとに最適なの？と考えれば）「面白い」かどうかの方が実は主たる意味である、ということもあるでしょう。
　さて、純粋数学のつもりだったものが応用される、ということがときどき起こる。かつては純粋に面白さや芸の腕前を競う過程で得られた成果が、年月を掛けて広く知られ枯れ果てたときに、アタリマエのこととして応用されるのはごく当たり前のことです。でもその年月が短かった場合には、さて、元が純粋数学として考え出されたのか、いや出口を見据えて構築したのか、その区別は（本人に尋ねない限り）曖昧ですね。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/01/11 12:23

応用数学は現実社会の状況などを数学を使った方法で説明や解析を行うもの。

簡単な一例としてはPDEを使って、渋滞予測（波の伝わり方）を解析するとか。