三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線A

三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線ACともに接しているとする。AB=10,AC=6,円と辺ABとの交点をDとする。
(1)三角形ATCの面積を求めよ。
(2)ADの長さを求めよ。
(3)円の半径を求めよ。

教えてください、、、、！

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/16 13:04

No.1 です。

自分で図は描けましたか？
#2 さんが描いてくれたようだけど。

(1) は #2 さんは余弦定理を使いましたが、別解として、円の中心を O とすれば
　OA⊥AC, OT⊥BC
より
　AC = TC = 6
であることが分かり、BT : TC = 4 : 3 より
　BT = 8
従って
　BC ＝ 14
が分かります。
3辺の長さが分かれば、ヘロンの公式から△ABC の面積が求まり、△ATC の面積はその 3/7 です。

ヘロンの公式
↓
https://manabitimes.jp/math/579　

(2) 「方べきの定理」を使うと
　BT^2 = BA × BD
なので、BD = AB - AD を使うと
　BT^2 = BA × (AB - AD)
ここに、BT = 8, AB = 10 を代入すれば
　64 = 10 × (10 - AD)
これを解いて
　10AD = 36
→　AD = 3.6

方べきの定理
↓
https://rikeilabo.com/arithmetic-theorem

(3) 円の半径は
　R = TO = TB･tan(C/2)

ここで
　sin^2(C/2) = (1 - cosC)/2 = (1 - 11/14)/2 = 3/28
　cos^2(C/2) = (1 + cosC)/2 = (1 + 11/14)/2 = 25/28
より
　tan^2(C/2) = 3/25
tan(C/2) > 0 なので
　tan(C/2) = (√3)/5

よって
　R = (6√3)/5

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/13 16:46

(1)

余弦定理から
|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC|cos∠C
10^2=6^2+14^2-2|6||14|cos∠C
2|6||14|cos∠C=36+4*49-100=4(9+49-25)=4*33
14cos∠C=11
cos∠C=11/14

(sin∠C)^2
=1-(cos∠C)^2
=1-11^2/14^2
=(14^2-11^2)/14^2
=25*3/14^2

sin∠C=5√3/14

|△ATC|
=(1/2)|AC||CT|sin∠C
=(1/2)|6||6|5√3/14
=(45√3)/7

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/12 22:25

与えられた条件で図が描けますか？

描けないようなら先に進みません。