lim[n→∞](1+1/n)^n が収束することの証明の中で、

1+1+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)
≦1+1+(1/2)+(1/(2^2))+…+(1/2^(n-1))
=1+{1-1/(2^n)}/(1-1/2)
≦3

というような不等式があるのですが、なぜこれが成り立つのかわかりません。教えてください。

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A 回答 (1件)

つまり、


(1/n!) ≦ (1/2^(n-1))

となることがわかれば良いと思うのですが、
具体的に書き出せば、以下のようになります。

n=2; 1/2 = 1/2
n=3; 1/(3*2) < 1/(2*2)
n=4; 1/(4*3*2) < 1/(2*2*2)
n=5; 1/(5*4*3*2) < 1/(2*2*2*2)
...
n=n; 1/n! < 1/2^(n-1)

ここで、2より大きな数字aに対して,1/a < 1/2
が一般に成り立ちますから,
1/2より小さいものでかけ算するよりも,
1/2でかけ算した方が大きな値になると言えます。
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この回答へのお礼

よくわかりました!ありがとうございました!

お礼日時:2005/04/18 16:25

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Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

QAn={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)について…(続く)

【問題】An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)につい数列{An}は単調増加であることを示せ。すなわちAn<A(n+1)を示せ。またAn<3であることも示せ。
(※ただし,二項定理を利用せよ。)
よろしくお願いします。
二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです^^;

Aベストアンサー

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
ここで、
1/n!=1/1*2*3*・・・*n<1/2^(n-1)
ですから、
An< 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
= 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
= 1 +2{1-(1/2)^n}
= 3 -(1/2)^n
< 3
となります。
limをとってやれば、自然対数の底e<3であることが分かりますね。
また、A1=(1+1/1)^1=2であることから2<eでもあります。
e<3を示す時に、もう少し精度を増してe<2.75にすることもできます。

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
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Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
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Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
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∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Q有界であることの証明

数列{An},{Bn}が収束するとき
Cn=An(nは偶数),Bn(nは奇数)
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Aベストアンサー

AnとBnが有界なんだから,
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というのが感覚的にわかりませんか?

答えは,|An|<M',|Bn|<M'' となる M'(>0),M''(>0)があるから
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|Cn|<M
よって,Cnは有界.
なぜ,AnとBnが有界かといえば
収束するから.
これは大抵の教科書にはでてるだろう定理ですが,
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こんな感じ
Anがaに収束するならば,
任意の正数εにたいして,ある自然数Nが存在し,
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したがって,
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したがって,有界

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q指数関数論

目標は f(a,z)=a^z (a,z∈C) を完全に定義することです
1. a^0=1
2. n∈N ⇒ a^n=a^(n-1)*a
3. n∈N,a≠0 ⇒ a^(-n)=1/(a^n)
4. e^z=Σ[n=0~∞](z^n/n!)
5. Im(w)∈[0,2π) ⇒ ( w=Log(z) :⇔ z=e^w )
6. R>=0,Re(θ)=0 ⇒ Log(Re^(iθ)):=Log(Re^mod(θ,2π))
 (偏角の拡張)
 * mod(θ,2π):=θ-2π*[θ/2π] とします
7. a^z=e^(z*Log(a))

とりあえず、ここでは、1価関数になるように
Logで主値を考えましたが、多価関数として扱えるように
することもできると思います

このような形で定義すれば、
完全に複素数の範囲で指数関数を定義した
ことになると思いますが、
どこか間違っている所、抜けてる所とかないでしょうか
4.の前に級数が収束することを示す必要がありますね.
5.で Im(w)∈[0,2π) を仮定した理由は
welldefindにする為です
だから、本当は
4. → 5.の間にe^zが単周期関数(周期2πi)で
あることを示す必要があります

後、知りたいことは、不連続点の分布です
わたし自身質問を把握しきれていないかもしれませんが
回答して補足してください mm(_ _)mm

目標は f(a,z)=a^z (a,z∈C) を完全に定義することです
1. a^0=1
2. n∈N ⇒ a^n=a^(n-1)*a
3. n∈N,a≠0 ⇒ a^(-n)=1/(a^n)
4. e^z=Σ[n=0~∞](z^n/n!)
5. Im(w)∈[0,2π) ⇒ ( w=Log(z) :⇔ z=e^w )
6. R>=0,Re(θ)=0 ⇒ Log(Re^(iθ)):=Log(Re^mod(θ,2π))
 (偏角の拡張)
 * mod(θ,2π):=θ-2π*[θ/2π] とします
7. a^z=e^(z*Log(a))

とりあえず、ここでは、1価関数になるように
Logで主値を考えましたが、多価関数として扱えるように
することもできると思います

このような形で定義すれば、
完全に複素数...続きを読む

Aベストアンサー

素人の戯言と思ってください。。。

>5. Im(w)∈[0,2π) ⇒ ( w=Log(z) :⇔ z=e^w )
0=e^wを満たすwは存在せず、Log(0)は定義できません。

zが自然数である場合を除けば、a^zは、
>7. a^z=e^(z*Log(a))
のように、Log(a)を用いて定義されているので、0^zが定義できていませんね。

ついでに、
a=-i,z=2,w=1/2とすると、
a^(zw)=a^1=a=-i
(a^z)^w=(e^(zLog(a)))^w=(e^(3πi))^w=(-1)^(1/2)=i
となるので、a^(zw)≠(a^z)^wである事から、普段使っている指数法則が成り立たなくなりますね。(Logが多価関数なら、成り立ちそうな気がしますが)

Q大学数学の勉強のしかた

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

(1)高校までは、公式を覚える→問題演習 という流れで勉強をしていました。高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか?

(2)高校では、公式を覚え、問題を解いてました。大学の数学では定理、定義、命題、補題など、公式らしきものの量が多いですよね?全て覚えようとしたら相当な暗記量を強いられます。これらは全て暗記、または自力で導き出せるようにする必要があるのでしょうか?

(3)定理などは全て証明がついていますが、これらの証明を全て自力でできるようにならなければならないのでしょうか??

今、微積分、線形代数、集合論、ルベーグ積分などを勉強しています。今僕がやっている方法は、教科書の定理、定義などを暗記し、証明はわかるところだけ読んでいます。問題演習は、やったりやらなかったりです。
しかし、この方法だと、定理などの証明が理解できないことが多く、なかなか先に進みません…

以上が、勉強していく上での疑問です。どなたかアドバイスいただければ幸いです。

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

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Aベストアンサー

大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。
 本格的な数学の学び方に関する本であれば、

伊原 康隆 (著)志学数学―研究の諸段階・発表の工夫 シュプリンガー数学クラブ
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などは薄いし、大学図書館にも入っているでしょうし、一読する価値はあると思います。

 また、日本評論社の『数学セミナー』、サイエンス社の『数理科学』、現代数学社の『理系への数学』といった理系の大学生向けの数学雑誌が大学図書館に入っていないわけはないと思いますし、時期的に勉強の仕方を扱った記事も載っていると思いますから、少し時間を作って、バックナンバー含め眺められてはいかがでしょうか。

大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。
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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q定数aのn乗根の極限(n→∞)について

n√c(定数cのn乗根)  ・・・☆ はn→∞で1に収束しますか?
また、その導き方も教えてください。

√の中に(aのn乗+bのn乗)が入った関数の極限(n→∞)を求める問題を解いていて、
主要項√(aのn乗)(a>bの場合)で括ったのはいいんですが、☆がどうなるのか分からず困っています。
分かりにくい文で申し訳ありませんが、数学の得意な方、よろしくお願いしますm(__)m

Aベストアンサー

こんばんわ。

「n乗根」「n√」と表しているとわかりにくかもしれませんね。
これを「1/n乗」ととらえられれば、見やすく分かりやすくなると思います。

lim[n→∞] n√c
= lim[n→∞] c^(1/n)
= lim[t→0] c^t (t= 1/nとおいて)
= 1

あと、定数:cについては「正の数」という条件もお忘れなく。


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