lim[n→∞](1+1/n)^n が収束することの証明の中で、

1+1+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)
≦1+1+(1/2)+(1/(2^2))+…+(1/2^(n-1))
=1+{1-1/(2^n)}/(1-1/2)
≦3

というような不等式があるのですが、なぜこれが成り立つのかわかりません。教えてください。

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A 回答 (1件)

つまり、


(1/n!) ≦ (1/2^(n-1))

となることがわかれば良いと思うのですが、
具体的に書き出せば、以下のようになります。

n=2; 1/2 = 1/2
n=3; 1/(3*2) < 1/(2*2)
n=4; 1/(4*3*2) < 1/(2*2*2)
n=5; 1/(5*4*3*2) < 1/(2*2*2*2)
...
n=n; 1/n! < 1/2^(n-1)

ここで、2より大きな数字aに対して,1/a < 1/2
が一般に成り立ちますから,
1/2より小さいものでかけ算するよりも,
1/2でかけ算した方が大きな値になると言えます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

よくわかりました!ありがとうございました!

お礼日時:2005/04/18 16:25

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Q数学プリント作成するのに使いやすいソフト

数学の講師をすることになりました。でも、パソコンが苦手であまり使いこなせません。数学のテストを作ろうとワードでやってみたら分数が作れません。数学の問題プリントを作るのに使いやすいソフトをご存知でしたら教えて下さい。

Aベストアンサー

やはり,TeX(テフ)を使うのがいいでしょう.

数学の講師ともなれば,TeX なしでは過ごせなくなります.短期間の数ヶ月だけ数学講師を努める,というのであれば,TeX までは必要ありませんが・・・.数学の講師ですから,常に数式を扱うでしょう.こうなると,TeX しかないと思います.TeX ならば,分数,微積分記号,その他,全ての数学記号を記述できます.

今現在,TeX 以上に優れた組版ソフトはありません.日本および世界の出版社でも TeX を用いて書籍を出版しているのが現状です.

パソコンが苦手とのことですが,誰かに手伝ってもらうという手もあります.とりあえず,TeX が使える人に数学のテスト・プリントを作ってもらうとか・・・.

差し出がましい様ですが,将来の為に,是非,TeX を習得して下さい.TeX は,インターネット上で無償で,提供されています.例えば,

http://w32tex.org/ です.

(注)ここでは,TeX という用語を,LaTeX , pLaTeX2e などの総称として使っています.

参考URL:http://w32tex.org/

やはり,TeX(テフ)を使うのがいいでしょう.

数学の講師ともなれば,TeX なしでは過ごせなくなります.短期間の数ヶ月だけ数学講師を努める,というのであれば,TeX までは必要ありませんが・・・.数学の講師ですから,常に数式を扱うでしょう.こうなると,TeX しかないと思います.TeX ならば,分数,微積分記号,その他,全ての数学記号を記述できます.

今現在,TeX 以上に優れた組版ソフトはありません.日本および世界の出版社でも TeX を用いて書籍を出版しているのが現状です.

パソコンが苦手との...続きを読む

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

Q数学の問題を解く時なのですが、ノートに丁寧に解くか捨てるプリントの裏にガーーっと解いて丸つけ見直しを

数学の問題を解く時なのですが、ノートに丁寧に解くか捨てるプリントの裏にガーーっと解いて丸つけ見直しをして捨ててしまうのとどちらがいいですか??
国立文系志望で今のところ数学はセンターのみです。

Aベストアンサー

現時点ですでに数学の力が相当にある(少なくとも、数学を得意だと思っている)なら、がーーと解いてもよいです。
もし、現時点で数学が苦手だと思っているなら、きれいに時間かけて解いたほうがよいです。
ただし、数学が得意だと思っている人でも、よくケアレスミスや計算間違えをする人は、計算用紙も答案なみにきれいに書いたほうがよいです。

それから、がーーと解く場合でも、「きれいに丁寧に」書く必要はないですが、
使う紙自体は、捨てるプリントの裏ではなくて、1問ごとにノートの真っ白なきれいなページ、を贅沢に使うべきです。
数学の勉強だけをひたすら必死に頑張ったって、せいぜい3~4日でノート1冊が埋まるくらいでは。
それでいて、ノートなんて100円ショップで3冊くらい一束で売っているわけで、最大で月300円くらい?そんなところをけちるべきではないです。
プリントの裏を使うなんてのは、金をけちるところを間違っています。
10円安い卵を買いに、200円のバス代使って1時間かけて遠くのスーパーに行く主婦みたいな。。

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Q数学でいう「証明」と論理学でいう「証明」は異なるものでしょうか?

数学で使われる「証明」という言葉と論理学で使われる「証明」という言葉は意味が異なるものであると思うのですが,間違いでしょうか?

公理系で挙げられる代表的な恒真式と推論規則に基づいて,別の恒真式を導くことが論理学でいう「証明」ですよね?
そして論理学的な「証明」によって得られるものは恒真式(定理)だと思います.恒真式とは情報の価値としてはゼロ(自明)です.

これに対して,数学で「証明」されるものは恒真式ではないですよね?数学における「証明」とは論理学における「演繹」に相当すると思うのですが,この考えも間違いでしょうか?

ご教授お願いします.

Aベストアンサー

哲学カテゴリーのほうでの御質問は閉められましたね。
御返事を拝見しましたら、ちょっとまだ引っ掛かるな~?と感じまして再度お相手させていただこうと思っていたのですが間に合いませんでした。
私は数学が大の苦手ですし「論理学」のことも知りませんから、今度こそ専門的な知識のあるかたに登場していただけたら良いのですが
一応、いま御質問で挙げられているところまでは御自身で辿り着かれたうえでの疑問点だと理解して、続けさせていただきますね。
哲カテのほうでの御返事で
>つまり数学でいう「証明」は論理学でいう「演繹(より正確に言えば,数学でいう「公理」からの演繹)」ということでしょうか.

これは、そうだと思います。前回の哲カテ投稿分をもっと整理します。ですので以下は部分的に繰り返しになります。
辞書によれば「証明」とは論理学においても数学においても
真と認める(ことにしようよ、という)命題(公理)から、ある命題が正しいことを論理的に導くこと。
特に数学では「公理」(仮定や前提)から(三段論法に代表される)演繹法を使って「定理」を導くこと。
「公理」から「演繹」(演繹によって導き出されるということは、前提を認めるならば絶対的、必然的に正しいということ)によって論理的に「定理」(という要するにトートロジー)を導く。
公理系から推論規則(論理式から他の論理式を導く規則のこと)を用いて「定理」を導く過程、これが数学での「証明」である。
数学的知識「体系」とは
「恒真式」の集まりに推論規則を適用して別の新しい「恒真式」をつくり出したもの。
出発点となる恒真式の「公理」と、公理系と推論規則から導出された恒真式である「定理」の全体で一つの理論を構成するもの。
ですから、
>公理系で挙げられる代表的な恒真式と推論規則に基づいて,別の恒真式を導くことが論理学でいう「証明」ですよね?

これは「論理学で」というよりも「数学でいう」ことで

>・数学では「公理,定理」は非恒真式で「証明」は非恒真式の列.
>・論理学では「公理,定理」は恒真式で「証明」は恒真式の列.

というのは違いますでしょう。

「論理学」とは
厳密な論理とくに推論を扱い
「~でない」(否定)「~か、または」(選言)「~であり、または」(連言)「~は、みな」(総括)及び「~である」などの、ことばの単純な使用ルールを定めたものである。
そして「記号論理学」または「数理論理学」とは
命題・概念・推論などを、その要素と関係に還元して記号で表記し、論理展開を数学的演算の形で明らかにする、哲学・数学などに応用される論理学の一分野であり、論理学を<より厳密化>したもの。
数学の証明問題というのは「数学基礎論」というものに関わり、「記号論理学」が用いられる。
         
         

哲学カテゴリーのほうでの御質問は閉められましたね。
御返事を拝見しましたら、ちょっとまだ引っ掛かるな~?と感じまして再度お相手させていただこうと思っていたのですが間に合いませんでした。
私は数学が大の苦手ですし「論理学」のことも知りませんから、今度こそ専門的な知識のあるかたに登場していただけたら良いのですが
一応、いま御質問で挙げられているところまでは御自身で辿り着かれたうえでの疑問点だと理解して、続けさせていただきますね。
哲カテのほうでの御返事で
>つまり数学でいう「証...続きを読む

Q【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(

【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1))} ただしnは自然数とする。

≪自分の解答≫
lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n](k/√(k^2+1))
=lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n]{(k/n)/√((k/n)^2+1/n^2)}

というところまで
やってみたのですが…

どうしたらいいでのしょうか??

Aベストアンサー

No2さまの後段にある区分求積の考え方を使ってみました。


a_n=1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1) とおく。

f(x)=x/√(x^2+1)とおくと、f(x)は単調増加関数。
したがって、
∫[(n-1)~n]f(x)dx < n/√(n^2+1) < ∫[n~(n+1)]f(x)dx
上式を1~nまで足し合わせると、
∫[0~n]f(x)dx < a_n < ∫[1~(n+1)]f(x)dx

∫f(x)dx=√(x^2+1)+C なので、
∫[0~n]f(x)dx=√(n^2+1)-1
∫[1~(n+1)]f(x)dx=√((n+1)^2+1)-√2

以上から、
{√(n^2+1)-1}/n < a_n/n < (√((n^2+2n+2)-√2)/n

ゆえにn→∞では、a_n/n→1 

Q数学の証明がたくさん載った本を探してます

数学の証明がたくさん載った本を探してます
数学が得意なわけでは無いのですが単純だけど奥が深かったり一般性が高いような
“美しい”と言われるような証明を読んでじっくり考えるのがすごく好きです
高校数学の範囲内の知識や考え方ならば理解できると思います
オススメの本があれば宜しくお願いします

Aベストアンサー

当方、数学は実用本位で"利用する側!"・・・であるので、数学の証明を"美しい"と感じ取れる程の「感性」を持ち合わせてはいないけれど・・・、

"美しい"・・・かどうかは分からないが、証明が沢山載っていると思われる書籍だと・・・
「定理公式証明辞典」笹部貞市郎編 (聖文新社)
----------------------------
http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4792200156.html
----------------------------
・・・辺りは如何!?

個人的には・・・
「数と図形」H.ラーデマッヘル& O.テープリッツ 著 (山崎三郎+鹿野健 訳) (ちくま学芸文庫が復刊!)
・・・は、今でもMyお気に入りの書籍である!

Q何故lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1?

識者の皆様おはようございます。

lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1
を示すのに困っています。
定義に従って書くと仮定は
0<∀ε'∈R,∃m'∈N;m'<k⇒|(a_k-1)/(a_k+1)-0|<ε'…(*)
となり、
これから
0<∀ε∈R,∃m∈N;m<k⇒|a_k-1|<ε…(**)
を導かねばならないのですがなかなか(*)から(**)を導けません。
どのようにして導けますでしょうか?

Aベストアンサー

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると)
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)>0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1>0
です。
 さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'(ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる)の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)...続きを読む

Q数学的帰納法で証明するとき

数学的帰納法で証明するとき
「(命題)を数学的帰納法で証明する」
って宣言してから証明しないといけないのですか?
どの参考書をみても「数学的帰納法で証明する」って
書いてから証明しているので…。

Aベストアンサー

ためしに宣言しないで解答を書いてみて、あらためて自分で眺めて違和感がなければそれでいいのでは・・・?


見る人の立場に立ってみれば、おそらく宣言したほうが親切ですし見やすいと思います。

何も書かずにいきなり、n=1のとき・・・とか書かれたらちょっと戸惑いますよね。


ようは分かりやすさの問題なので実際はどちらでもよいと思いますが、人によりけりですね。テストとかでは書いとくほうが無難です。

Qlim(n→∞)(n((n+1)^(1/n)-1)-logn)=?

lim(n→∞)(n((n+1)^(1/n)-1)-logn)=?

Aベストアンサー

いささか乱暴な物理数学風でやってみようかな。
えーと、まず(n+1)^(1/n)ってところ、n→∞なら(n+1)もnも一緒でしょ、ということで、
  n((n^(1/n))-1) - ln(n)
を考えことにする。
 また、nを正の実数だと思ったとき、上記の式は連続関数になっていて特異点もないから、nを正の実数に拡張しても問題ないでしょ。ならば
  x = 1/n
としてx→+0を考える方がなじみがあるなあ。
  ε = (((1/x)^x) - 1)/x + ln(x)
とおき、移項して
  1+x(ε-ln(x)) = (1/x)^x
さらに両辺の対数をとって移項すると
  ln(1+x(ε-ln(x))) + x ln(x) = 0
ここから、x→+0のときxε→0であることは簡単に出る(ので省略)。つまりx→+0の極限でεが(何か有限値に)収束することが確認できた。さて、ちょっと戻って(てか、x>0なんで)
  ln(1+x(ε-ln(x)))/x + ln(x) = 0
ln(1+t)のマクローリン展開は
  ln(1+t) = -Σ{k=1,…,∞} ((-t)^k)/k
だっけか。これを使うと、
  ln(1+x(ε-ln(x))) = x(ε-ln(x)) - Σ{k=2,…,∞} (-(x(ε-ln(x)))^k)/k
つまり、
  ln(1+x(ε-ln(x)))/x + x ln(x) = ε- Σ{k=1,…,∞}((ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)/(k+1)
で、左辺は0だというのだから、
  ε= Σ{k=1,…,∞}((ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)/(k+1)
を得る。
 右辺の各項の(ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)の展開を考えると、x→+0でxln(x)→0, x((ln(x))^2)→0であることと、εが有限であることから、x→+0のとき、展開に現れる
  (x^k)((ln(x))^(k-m))(ε^(m+1)) (0≦m≦k)の形の項は全部→0
  (x^k)((ln(x))^(k-m+1))(ε^m) (0≦m≦k)の形の項も全部→0
なので、
  ((ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)/(k+1)→0
つまり、右辺は各項ごとに収束して全部0。従ってx→+0で
  ε→ 0
だな。
 計算間違いの常習犯なので、チェックよろしく。

いささか乱暴な物理数学風でやってみようかな。
えーと、まず(n+1)^(1/n)ってところ、n→∞なら(n+1)もnも一緒でしょ、ということで、
  n((n^(1/n))-1) - ln(n)
を考えことにする。
 また、nを正の実数だと思ったとき、上記の式は連続関数になっていて特異点もないから、nを正の実数に拡張しても問題ないでしょ。ならば
  x = 1/n
としてx→+0を考える方がなじみがあるなあ。
  ε = (((1/x)^x) - 1)/x + ln(x)
とおき、移項して
  1+x(ε-ln(x)) = (1/x)^x
さらに両辺の対数をとって移項すると
  ln(1+x(...続きを読む


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