数学A「少なくとも1人がふくまれる組合せ」の考え方について

『男子8人，女子5人の中から4人の委員を選ぶ組合せ』の問題です。

「少なくとも1人は女子が含まれる選び方について」ですが，
すべての組合せ13C4から4人とも男子の8C4を引くと教わりました。

自分としては，
（5人の女子から1人を選ぶ）そして（残りの12人から3人を選ぶ）という考えから，5C1×12C3と考えたのですが違ってました。

ちなみに男子2人と女子2人の場合は8C2×5C2だから同様に考えたつもりなのですが，なぜこの考え方ではできないのでしょうか？
どこが間違いなのか教えてもらえませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/03/08 08:37

＞（5人の女子から1人を選ぶ）そして（残りの12人から3人を選ぶ）という考えから，5C1×12C3と考えたのですが違ってました。

なぜ間違っていたかというと、男子８人をＡＢＣＤＥＦＧＨ、女子４人アイウエオとした場合に、たとえば
女子１人をアとした場合に、残りの１２人からＡＢイを選んだ組み合わせになった場合と、
女子１人をイとした場合に、残りの１２人からＡＢアを選んだ組み合わせが同じ組み合わせで重複してしまうからです。

真正面から（全体から全て男性を引くのではなく）解くとすれば、
女子が１人の場合：５Ｃ１×８Ｃ３
女子が２人の場合：５Ｃ２×８Ｃ２
女子が３人の場合：５Ｃ３×８Ｃ１
女子が４人の場合：５Ｃ４
としてこれらを合計することになります。

この回答へのお礼

大変ていねいで分かりやすい説明をありがとうございました。
重複しているということを教えていただき，ずっとモヤモヤしていた部分がスッキリしました。
こういう丁寧な説明をしていただくと，ますます数学の勉強が分かり，楽しくなりますね。
また質問することがあると思いますが，その時もよろしくお願いします。

お礼日時：2023/03/08 23:58

No.2 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/03/08 01:08

まず最初に、男子8人と女子5人から4人を選ぶ組合せは、以下のように求めることができます。

・男子から4人、女子から0人選ぶ場合: 8C4 × 5C0
・男子から3人、女子から1人選ぶ場合: 8C3 × 5C1
・男子から2人、女子から2人選ぶ場合: 8C2 × 5C2

これらを合計することで、全ての場合の数である13C4に等しくなります。

さて、このうち「少なくとも1人は女子が含まれる選び方について」を考えると、以下のようになります。

・男子から4人選ぶ場合: 8C4
・男子から3人、女子から1人選ぶ場合: 8C3 × 5C1
・男子から2人、女子から2人選ぶ場合: 8C2 × 5C2

これらを合計することで、少なくとも1人は女子が含まれる選び方の場合の数が求められます。

一方で、あなたが提案された「5人の女子から1人を選ぶ」ことから始める方法は、以下のようになります。

・女子から1人選ぶ場合: 5C1
・男子から3人選ぶ場合: 8C3
・男子から4人選ぶ場合: 8C4

これらを掛け合わせると、5C1 × 8C3 × 8C4となります。

この方法の問題点は、男子8人から4人を選ぶ場合に「女子を含めない」という場合の数が考慮されていない点です。つまり、男子から4人を選ぶ場合にも「女子を含めない」場合があるため、その場合の数を考慮する必要があります。

したがって、最初に示した方法で計算することが正しい方法となります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
順列とか組合せって本当に難しくて，結局は理解するより丸暗記みたいになってしまいますよね。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/03/08 23:55

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/03/08 01:01

男・女という区別が間違いです。

その他の性・ノンバイナリーも参画させましょうッ！

持続可能な社会実現の為にッ！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
そうですよね。
なんか，数学的な問題点を探すことばかりに目がいってました。
もっと基本的な大切な所を気づかせてもらった気がします。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/03/08 23:54