数学の参考書で「同値変形」という言葉が出てきたのですがどういう意味でしょうか？調べても出てこなかっ

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質問者：高校生田中
質問日時：2023/06/28 18:31
回答数：2件

数学の参考書で「同値変形」という言葉が出てきたのですがどういう意味でしょうか？

調べても出てこなかったので正式な言葉ではないのだと思います。

参考書では、
x+y=2･･･① x-y=0･･･②
①と②を同値変形するとx=3が導ける。
という風な書き方でした。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： AっKI
回答日時：2023/07/01 14:08

変形の前後で

式の値（左右の式の関係）やそれが成立する条件が変わらない変形のこと

基本的に、あなたが普段やっている式変形は「同値変形」なのです。

ただし、ときどき、「同値変形」を意識せずに変形してしまって
結果的に同値変形になっていないことがあります。
代表的なのが『両辺二乗』

例題：－ｘ＋２＝√ｘ・・・☆
解答例：
両辺を二乗すると
x^2-4x+4=x・・・★
x^2-5x+4=0
(x-1)(x-4)=0
よってx=1,4

この解答、どこが誤りなのでしょうか？
☆から★の変形、一見正しいように思えますが
これが『同値変形になっていないので誤り』なのです。
どういうことか。
★の式は変数xに制限がありません。
しかし、☆の式のxは0≦x≦2という条件が付いています。
☆でこの条件が付いているのにその後の変形時に
これを考慮しなかったからx=4というあり得ない答えが
出てきて誤答になったわけです。

正しくは
☆の右辺よりｘ≧0（∵根号の中は0以上）
さらに、左辺について-x+2≧0（∵右辺が0以上なので左辺もおなじ）
よって０≦ｘ≦２
このもとで両辺を二乗すると
x^2-4x+4=x（０≦ｘ≦２）
x^2-5x+4=0
(x-1)(x-4)=0
よってx=1,4
０≦ｘ≦２であるから
求めるxの値はｘ＝１

両辺を二乗するときは二乗しようとする式の両辺とも0以上であることを
確認してから（または両辺が0以上になる条件を確認してから）すること
が大原則です。これは『同値変形』ということが根本にあるのです。

普段はあまり気にしなくていい同値変形ですが、
気にすべき場面があることは認識しておくことが大切です。