虚数単位i について「i =√-1<=> i^2=-1」と定められていますが、これらが同値であること

虚数単位i について「i =√-1<=> i^2=-1」と定められていますが、これらが同値であることはどう示せば良いでしょうか？

「i =√-1」ならば「 i^2=-1」はわかるのですが
「 i^2=-1」ならば「i =√-1」はどう説明できるでしょうか？

i^2=-1
i =±√-1
虚数は正の数でも負の数でもないため
i =√-1

ということで合っていますか？

頭が混乱してしまって、いまいち納得がいっていません。
そもそも正の数でも負の数でもないのに符号がついた数で表現されていることに少し違和感があります。

易しい説明をしていただけると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  結局どう解釈したらいいんでしょう…？？？

    補足日時：2023/07/06 17:38

• 

  みなさんご回答ありがとうございます。
  「i =√-1<=> i^2=-1」は虚数単位に関する定義だという理解で大丈夫でしょうか…？
  
  一応、私がこの質問をするに至った経緯をお伝えします。
  
  私の勉強に使っている参考書には
  「虚数を人類が手にしてから約200年後に、オイラーが虚数単位　i =√-1 と定義した」というヒストリーが載っていて、そのすぐ後に
  線で囲んで「i =√-1<=> i^2=-1」と書いてあります。
  
  私はこれを見て、
  「i =√-1」は定義だけど「i^2=-1」は論理的に考えて導かれたものなのだと思いました。
  そして、「x^2=3 <=> x=±√3 」のように「±」が必要なのでは？と疑問に思いました。
  
  それからしばらく考えて、文章を何度か読み直しても納得のいく答えが出ず質問させていただいた次第です。

    補足日時：2023/07/07 03:21

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/07 08:20

＞ 私はこれを見て、

＞ 「i =√-1」は定義だけど「i^2=-1」は論理的に考えて導かれたものなのだと思い＞ ました。

それは微妙。
「i =√-1」も「i^2=-1」も、どちらも i を定義するために必要な等式ではあるが、
どちらも式だけでは i を定義できない。√-1 と表しうるものも、i^2=-1 の解も、
複素数の中に 2個づつあり、それぞれそのどちらを採って i としたのかについての
説明が一番大切だからだ。既に誰かが回答していたとおり、2個のうちどちらを
i として採用しても、定義される複素数の体系は、体系としては同じもので、
区別できない。しかし、それぞれの体系の中で、i に採用されなかった片割れは
-i として在り、 i とは区別される。
「i =√-1」と「i^2=-1」が同値でないのは、「i =√-1」で定義した i と
「i^2=-1」で定義した i が、2個のうち同じ方を採った保証がないからだ。

＞ そして、「x^2=3 <=> x=±√3 」のように「±」が必要なのでは？
＞ と疑問に思いました。

それは大正解。

この回答へのお礼

何度もご親切にありがとうございます。
この質問内容の答えは今の私にはわからないだろうと理解いたしました。出直してきます…。

お礼日時：2023/07/07 15:26

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/06 23:20

←No.9

その回答は、少々人が悪い。
初歩で躓いてる相手を、からかっちゃいかんよ。

＞ 虚数単位i について「i =√-1<=> i^2=-1」と定められていますが
の i =√-1 が、 i をそう定義する...という意味で書いてるんじゃなくて
既に定義された虚数単位と √-1 が等しいか？ という話をしているのであれば、
i =√-1 は真かどうか怪しい。 √-1 が、ともかくも何かの値を表すとすれば、
虚数単位となり得る複素数は ±√-1 の 2 個があるのだから、
軽々に i =√-1 が真だとは結論できないはずだ。

No.10 回答者： rinkun 回答日時： 2023/07/06 22:25

方程式 x^2=-1 を満たす x は実数の中にはない。

しかし適当に数を拡大すると2つの解がある。
それを a, b とおくと x = a or b です。
それで a+b=0, ab=1 です。(解と係数の関係)
なので解の一方(例えばa)をi:=aと定義すると、b=-iとなる。
それでiを虚数単位と言います。「i =√-1」は正確には √-1:=i です。
# x:=a は x を a で定義する
なので「i =√-1<=> i^2=-1」は意味のない言及です。
正確には「i =√-1」も「 i^2=-1」も定義により真なので、
「i =√-1 <=> i^2=-1」は単に「真 <=> 真」という恒真式です。

一方で式中の i を未知数に置き換えると
x =√-1 => x^2=-1 は左辺より x=i なので真
x =√-1 <= x^2=-1 は右辺より x=i or -i なので偽(恒真でない)
です。

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/06 18:17

No.2へのコメントについて。

　No.3以降のいくつかの回答が「同値じゃない」と言ってるのは
　　x =√(-1) ⇔ x^2=-1
という命題についてです。ここにxは未知数です。このとき、この命題は偽ですから、それらの回答は（未知数をiと書いているという、混乱を招く書き方をしているという点を除けば）正しい。（実際、x^2=-1 かつ x≠√(-1) であるようなxが存在し、それは x=-√(-1) ですね。）

　一方、No.2で「同値だ」と言ってるのは、ご質問にある
　　i =√(-1) ⇔ i^2=-1
という命題についてです。ここにiはすでに定義が与えられている定数です。このとき、この命題は真です。

　両者は全くの別物です。

> 1=1+0 => 2=2×1 という命題についても

　0とは足し算の零元のことであり、すなわち、どんなaについてもa+0 = aを満たすもののこととして定義されています。だから、1+0=0 である。なので、1=1+0は真です。
　1とは掛け算の単位元のことであり、すなわち、どんなaについてもa×1=aをを満たすもののこととして定義されています。だから、2×1=2である。なので、2=2×1も真です。
従って、この命題は
　　真 ⇔ 真
というのと全く同じです。もちろんこの命題全体も真です。

　同様の理由で
　　i =√(-1) ⇔ i^2=-1
が真であることはNo.2に書いてあるし、さらに

> 虚数単位i について「i =√-1<=> i^2=-1」と定められています

が誤りである（そんなやりかたで定められはていない）ことも書いてある。

No.8 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/06 13:10

No.7蛇足です。

虚数(複素数)が分母に入る分数は定義されてません1/(2+3i)など・・・・。
高校では共役複素数を分母子に掛けて、とやってますが、そもそも元の分数が定義されていません。

虚数(複素数)にも偶数奇数が定義されてます。

No.7 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/06 12:57

同値です。

2乗すると○になる数はプラスとマイナスの2個があるから・・・・、と言う言い分は虚数に付いては当てはまりません。

x²=-1を満たすxは2つ考えられるが、どちらでもい良いのでどちらかを考えてiと表現する。
これが虚数単位iの定義です。

x=±iだろ！何言ってんだ！と言うのが間違いなんです。
iなんです。
-iだと思ってる側をiにしても良い訳。

>>「 i^2=-1」ならば「i =√-1」
どちらも同じ事を言ってるので「ならば」と言う事でも有りません。

i²=-1でiの定義を考えればi=√-1です(2乗したら-1になるのをiと定義したから）

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/06 07:25

>虚数単位i について「i =√-1<=> i^2=-1」と定められていますが

これは無理。
複素数は実数を拡張する2次元ベクトルの一種として定義するしかない。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/05 22:15

i=√-1 と i^2=-1 は「同値」ではない. もし「同値」と書いてあるなら, それは間違いだ.

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/07/05 20:52

中学校で 必要条件・十分条件 を習いましたね。

「i =√-1」⇒「 i^2=-1」は成り立っても 逆はダメですよね。
x²-1=0 の解が x=±√(-1) ですから、(-i)² も -1 になりますね。
「虚数は正の数でも負の数でもない」← その通りですから、
大小関係を 決める事は出来ませんが、
数式で ー の符号をつける事は出来ます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/05 17:02

同値じゃないよ。

方程式 x^2 = -1 の解は x = ±i で 2個あるからね。
i = √-1 ⇒ i^2 = -1 は言えるけど、
i^2 = -1 ⇒ i = √-1 は成り立たない。

この回答へのお礼

参考書には同値記号があるんですがミスでしょうか…。
ありがとうございます。

お礼日時：2023/07/05 17:09