虚数単位i について「i =√-1<=> i^2=-1」と定められていますが、これらが同値であること

虚数単位i について「i =√-1<=> i^2=-1」と定められていますが、これらが同値であることはどう示せば良いでしょうか？

「i =√-1」ならば「 i^2=-1」はわかるのですが
「 i^2=-1」ならば「i =√-1」はどう説明できるでしょうか？

i^2=-1
i =±√-1
虚数は正の数でも負の数でもないため
i =√-1

ということで合っていますか？

頭が混乱してしまって、いまいち納得がいっていません。
そもそも正の数でも負の数でもないのに符号がついた数で表現されていることに少し違和感があります。

易しい説明をしていただけると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  結局どう解釈したらいいんでしょう…？？？

    補足日時：2023/07/06 17:38

• 

  みなさんご回答ありがとうございます。
  「i =√-1<=> i^2=-1」は虚数単位に関する定義だという理解で大丈夫でしょうか…？
  
  一応、私がこの質問をするに至った経緯をお伝えします。
  
  私の勉強に使っている参考書には
  「虚数を人類が手にしてから約200年後に、オイラーが虚数単位　i =√-1 と定義した」というヒストリーが載っていて、そのすぐ後に
  線で囲んで「i =√-1<=> i^2=-1」と書いてあります。
  
  私はこれを見て、
  「i =√-1」は定義だけど「i^2=-1」は論理的に考えて導かれたものなのだと思いました。
  そして、「x^2=3 <=> x=±√3 」のように「±」が必要なのでは？と疑問に思いました。
  
  それからしばらく考えて、文章を何度か読み直しても納得のいく答えが出ず質問させていただいた次第です。

    補足日時：2023/07/07 03:21

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/05 17:01

x^2 + 1 = 0

という方程式の解は二つある。
　で、その一方をiとする、と決めたんです。解の一方がiでもう一方が-i。（-iというのは、もちろん、i + (-i) = 0を満たすモノ、という意味です）。
　これを使って、上記の方程式の二つの解を
　　x = i, x = -i
と表せるようになった。

　一方、√という記号を拡張するにあたって、
　　√(-|x|) = i√(|x|)
と決めたんです。

　さて、ご質問の
　　「 i^2=-1」ならば「i =√-1」
というのはどういうことか。前件の
　　i^2=-1
という部分はiの定義から真です。さて、√という記号は
　　√(-1) = i
という意味でしたから、後件も真。つまり、ご質問の命題は
　　真 ⇒ 真
ということです。もちろん、この命題は真ですね。

(この命題が真である理由は、
　　1=1+0 ⇒ 2=2×1
という命題が真である理由ととてもよく似ています。比べてみれば理解が進むかも。)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
もしよろしかったら、1=1+0 => 2=2×1 という命題についても教えていただけると嬉しいです。

お礼日時：2023/07/05 17:17

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/07/05 16:57

> 「 i^2=-1」ならば「i =√-1」はどう説明できるでしょうか？

単に、平方根と言う定義から、という事です。

あり得ない「数値」だからこそ、
「虚数」と言う名がつけられているのです。