数学の質問です。どうしてもわからないのでしなおします。すみません。
log₂5と3の大小関係を求めよ
という問題で
log₂5とlog₂3を比べてもlog₂3=3ではないので無意味ということはわかります。
では、写真の問題のときxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおけるのはなぜですか?
なぜ、各値にlog₂を入れてるのですか?
あと、log₂をとるってどういうことですか?
x^2=kとすると
logₓk=2ですよね?
どうやったらxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6の形になるのですか?
A 回答 (8件)
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No.8
- 回答日時:
0 < A = B であれば log A = log B が成り立ちます。
この性質を使って A = B という式を log A = log B へ変形することを
「両辺の対数を取る」と言います。
もとの等式に辺が 3つあれば、2^x = 3^y = 6^z の
「対数を取」って、log₂(2^x) = log₂(3^y) = log₂(6^z) です。
あとは、対数法則 log(a^x) = x log(a) から
log₂(2^x) = x log₂(2),
log₂(3^y) = y log₂(3),
log₂(6^z) = z log₂(6) だから x log₂(2) = y log₂(3) = z log₂(6) ですね。
この式は、与えられた式 2^x = 3^y = 6^z を変形したもので、
勝手に「おいた」わけではありませんよ。
No.7
- 回答日時:
2^x=3^y=6^z=2^k .......とおくのがポイントです!
ただし kは0でないとおけるから順に対数の定義により
最初の項と最後の項から
k=log【2】2^x
2番目の項と最後の項から
k=log【2】3^y
3番目の項と最後の項から
k=log【2】6^z
まとめて
k=log【2】2^x=log【2】3^y=log【2】6^z
従って対数の真数の大小がそのまま大小となるから
log₂5と3の大小関係を求めよ
従って 3=log【2】2=log【2】2^3=log【2】8
故に log【2】3<log【2】5<log【2】8= 3
No.6
- 回答日時:
何か 基本的な事を 間違って覚えていませんかね。
先日の質問の画像にも書いてあるように、
2^x=3^y=6^z の各辺を 底が 2 の対数に 変形すると、
log₂(2^x)=log₂(3^y)=log₂(6^z) となり 整理すると、
log₂2=1 ですから x=ylog₂3=zlog₂6 となるのです。
「xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおける」のではなく、
計算の結果 そうなる と云う事です。
No.5
- 回答日時:
xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおいているのではありません
そこに
2^x=3^y=6^z(xyz≠0)のとき,1/x+1/y-1/zの値を求めよ
と書いてあるのだから
2^x=3^y=6^z
のとき
xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6
が
成り立つのです
2^x=3^y=6^z
↓各辺のlog2をとると
log₂2^x=log₂3^y=log₂6^z
↓
xlog₂2=ylog₂3=zlog₂6
が成り立つのです
A=B
ならば
log_2(A)=log_2(B)
になるのです
No.4
- 回答日時:
>では、写真の問題のときxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6とおけるのはなぜですか?
何度も同じ質問をしていますが、その回答にもあるとおり「置いている」のではないのですよ。
自動的、機械的にそうなるのでなく、「対数の定義」に従って式を変形していくとそうなる、という「式の変形」なのです。
それを「機械的にそうできる公式や裏技があるに違いない」と思い込んでいるあなたが間違いなのです。
それをきちんと理解しないと先には進みません。
>なぜ、各値にlog₂を入れてるのですか?
上に書いたように、与えられた関係式を「2を底にした対数」に変換しているからです。
単純にそうしているのではなく、「対数の定義」に従ってそのように「変換している、式変形している」ということです。
No.3
- 回答日時:
>log₂5と3の大小関係を求めよ
これを2の指数(2^xのx)とすると
2^Xは単調増加だからxのの大小関係がわかる。
2^(log₂5)=5
2^3=8
よって log₂5<3
>どうやったらxlog₂2=ylog₂3=zlog₂6の形
2^x=3^y=6^z
の全辺をその2の対数に置き換えただけ。
log₂も単調増加だから等号はそのまま
使って差し支えない。
log₂(2^x)=xlog₂2=x
は解るよね?
No.2
- 回答日時:
log₂を取る(logに入れる)のは、底(=2)の何乗か?その乗数の値になります、という意味です。
例えば、log₂8は、8が底(=2)の3乗だから、3という値になります。log₂8とlog₂5を考えると、自然数の比較であきらかにlog₂8の方が大きいです。
log₂5 < log₂8 = 3 のため、log₂5 < 3 で3が大きいと言えます。
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