数学Ⅰ・Aについて

数学Ⅰ・Aの整数の性質についての問題で、
2つの正の整数 a , b(a＞b)があって，最大公約数は14，最小公倍数は196である。a,bを求めよ
という問題があります。
解答には添付した写真のようにありました。
2つ質問があるのですが、　
①　どうして、a'とb'は互いに素でなければならないのですか？
②　どうして、14a'b'=196としているのですか？　196の部分は最小公倍数でなければならないのですか？
できるだけ分かりやすく教えていただけるとありがたいです。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/16 15:13

＞a'とb'は互いに素でなければならないのですか？

互いに 素 でなかったら、最大公約数が 14 以上になります。
最大公約数の出し方を 考えれば 分かる筈ですが。

＞14a'b'=196としているのですか？

最小公倍数と最大公約数の計算の仕方を 思い出してください。
元の数の積は 最小公倍数と最大公約数との積。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/16 09:11

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞公倍数の所で
k=b'・a=a'・bで これより小さい「a,bの倍数」はないのはなぜでしょうか？

ちょっと書き間違いで
「これより小さい「a,bの公倍数」はない」
ですね。
「何故」と考える前に、「存在するかどうか」を調べてみたらどうですか？

k = 2･7･a'･b' であり、これよりも小さい「a = 2･7･a' と b = 2･7･b' の公倍数」が存在しますか？　a' と b' とは互いに素ですよ？


＞それと 14a'b'=196の 196は 最小公倍数でない別の公倍数ではダメなのですか？

「ダメ」とはどういう意味なのでしょうか？
「最小」でなければ、それよりも小さい公倍数が存在するはずですが、それはいくつになりますか？
それは「a = 2･7･a' と b = 2･7･b' の公倍数」になっていますか？

「論より証拠」で、存在するのかどうかをどうして自分で確かめないのですか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/16 06:12

2つの正の整数 a , b(a>b)があって，最大公約数は14，最小公倍数は196である。

a=14a'
b=14b'
a'とb'の任意の公約数をd≧1とすると
a'=da"
b'=db"
a=14da"
b=14db"
14dはaとbの公約数となる、aとbの最大公約数は14だから
14d≦14
d≦1
d≧1だから
↓d=1
a'とb'の公約数はすべてd=1だから
a'とb'は互いに素

14a'b'=ab' はaの倍数
14a'b'=ba' はbの倍数
14a'b'はa,bの公倍数

cをaとbの公倍数とすると
ax=c=by
となるx,yがある
14xa'=ax=c=by=14yb'
14xa'=14yb'
xa'=yb'
a'はyb'の約数でa'とb'は互いに素だから
a'はyの約数だから
y=ta'
となるtがあるから
c=by=bta'=t14a'b'≧14a'b'
だから

14a'b'はa,bの最小公倍数だから
↓a,bの最小公倍数は196だから
14a'b'=196

↓両辺を14で割ると

a'b'=196/14=14

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/16 00:22

＞①　どうして、a'とb'は互いに素でなければならないのですか？

共通の約数があったら、最大公約数が「14」でなくなるから。
共通の約数を m として最大公約数が 14m になる。

＞②　どうして、14a'b'=196としているのですか？　196の部分は最小公倍数でなければならないのですか？

a = 2･7･a', b = 2･7･b' なので、最小公倍数 k は
　k = 2･7･a'･b'
になりますよね？
　k = b'･a = a'･b
なので、これより小さい「a, b の倍数」はないでしょ？


「なければならいのか？」と疑問があるなら、そうなることを自分で確認すればよい。
そうすることで「数学力」「思考力」が付きますよ。
文字を使うと分かりづらいなら、適当な数値を使ってやってみればよい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
公倍数の所で
k=b'・a=a'・bで これより小さい「a,bの倍数」はないのはなぜでしょうか？
それと 14a'b'=196の 196は 最小公倍数でない別の公倍数ではダメなのですか？
教えて欲しいです。

お礼日時：2023/10/16 01:32