整数問題

Question

a^2 ＋ b^2  = C^2　が成り立つとき
aかｂどちらかが３の倍数であることを示せ。

をＭＯＤ使わずに証明する方法ありますでしょうか？

aかｂはどっちかが奇数で、もう１方は偶数、ｃは奇数ってところまでは分かったんですが・・・。

rinkun · Accepted Answer

a, b, Cは全て整数で良いのですよね。
整数は3n, 3n+1, 3n-1の何れかで表せる。それぞれ2乗すると9n^2, 9n^2+6n+1, 9n^2-6n+1で、3で割ると割り切れるか1余る。
aとbが共に3の倍数でないとき、a^2 ＋ b^2 = C^2の左辺は3で割ると2余るが、右辺は3の倍数か、3で割って1余るから等式が成立しない。

胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 · Answer

連続3整数は3の倍数。aもbも3の倍数ではないとする。cが3の倍数ではないとするとa²-1+b²=c²-1が3の倍数なのでaは3の倍数。矛盾。したがってcは3の倍数。このときa²-1+b²-1=c²-2が3の倍数ではないのでa²-1かb²-1のどちらかは3の倍数ではない。矛盾。

tknakamuri · Answer

modを使わずにというのは
3で割った余り
に関連する式は使用禁止という意味?

(3n+1)^2=3(3n^2+2n)+1だから1余るとかも駄目？

それは難しい。

endlessriver · Answer

3の倍数を基準にすると任意の自然数nは
　　　　n=3k, 3k±1
と表される。すると、
　　　　n²=3(3k²), 3(3k²±2k)+1
となり、 n²を3で割ると余りは 0,1 で、nが3の倍数でなけれ
ば、n²の余りは「1」のみである。

したがって、a,bが共に3の倍数でないと仮定すると、a²,b² の
余りは、共に1で、その和の余りは2となるが、c²の3の余りは、
0,1のみだから矛盾。つまり、a,bのいずれかが3の倍数。

さらに、a,bがともに3の倍数なら、a²+b²を3で割った余りは
0で、cも3の倍数になる。つまり、a,b,cは既約でなく、3で割
れば上の議論に戻る。

ゆえに、a,bのいずれかは3の倍数で、他方は3の倍数でない。

stomachman · Answer

[1] どんな整数tでも、t^2を3で割ったときの余りは0か1であり、余りが2になるということはない。また、余りが0なのはtが3の倍数である場合に限る。
　なぜなら
　　t = 3s + r  (r ∈{0,1,2})
と表せば
　　t^2 = (3s + r)^2 = 9s^2 + 6rs + r^2
これを3で割れば
　　(t^2)/3 = (3s^2 + 2rs) +(r^2)/3
そして(3s^2 + 2rs) は整数なので、
　　r = 0 のとき (r^2)/3 = 0  だから余りは0
　　r = 1 のとき (r^2)/3 = 1/3  だから余りは1
　　r = 2 のとき、(r^2)/3 = 4/3 = 1 + 1/3  だから余りは1

従って
[2] a, bが共に3の倍数でないとき、a^2を3で割った余りと、b^2を3で割った余りはどちらも1。
　だから（a^2 ＋ b^2）を3で割った余りは2。
　しかし（C^2）を3で割った余りが2になることはない。なので、
　　a^2 ＋ b^2 ≠ C^2

[3] ということは、
　　a^2 ＋ b^2 = C^2
が成り立つためには、「a, bが共に3の倍数ではない」ということはない（すなわち、a, bの少なくとも一方が3の倍数である）ということが必要。

ま、modを使わないで書いた、というだけなんだけど。

アルパチーノ · Answer

家庭の煙探知機がしっかり養生して塞いでても虫駆除ガスを撒くと「火事です、火事です」と発報します。
ボタンを押して止めても暫くしたら鳴り出します。なぜでしょうか？
時間が経てば鳴り止みますか？

整数問題

a, b, Cは全て整数で良いのですよね。

連続3整数は3の倍数。

modを使わずにというのは

3の倍数を基準にすると任意の自然数nは

[1] どんな整数tでも、t^2を3で割ったときの余りは0か1であり、余りが2になるということはない。

家庭の煙探知機がしっかり養生して塞いでても虫駆除ガスを撒くと「火事です、火事です」と発報します。

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング