x,yが互いに素なとき、x+y/2とx-y/2も互いに素であることが言えるのは何故でしょうか？

x,yが互いに素なとき、x+y/2とx-y/2も互いに素であることが言えるのは何故でしょうか？

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/11/18 17:11

(x+y)/2と(x-y)/2が共通因数を持つならば、x,yは共通因数を持つ。

この対偶は、x,yが互いに素ならば、(x+y)/2と(x-y)/2は互いに素。

なので、1行目を証明すれば良いわけ。

[以下1行目を証明]
x+yとxyが1より大きい公約数rをもつとすると
x+y=rp …①
x-y=rq …② （p,qは整数，rは2以上の素数）
とおける。

①よりy=rp-xを②に代入して
x-rp+x=rq
2x-rp=rq
x=r(p+q)
xはrを約数にもつ。

また、②よりy=x-rq=r(p+q)-rq=rp
∴yもrを約数にもつ。

よってx，yはともにrを約数にもつ。
これで、1行目の証明終わり。

この対偶を取れば質問文と同値になる。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/18 16:55

x=3,y=2は互いに素だけれども

x+y/2=3+2/2=3+1=4
と
x-y/2=3-2/2=3-1=2
は互いに素ではない

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/18 16:21

x+y/2 や x-y/2 が整数になるという保証がそもそもないんだが?

さておき対偶が簡単か.