正方行列Aについて

Question

AX = E のとき
XA = E もなりたつって言うときに

XAX = XE = EX 
だから XA = E って言ってる人がいました
これってへんじゃないですか？
YX = Y'X
になったときに
Y = Y'っていえるのは
Xが正則で逆行列をもってるときに
YXX^-1 = Y'XX^-1
から Y = Y'
っていえるけどいまはいえなくないですか？
それで
XAX = XE = EX = X
として
一般に
XZ = X
なら Z = E
というのは言えますか？？

tknakamuri · Accepted Answer

いつもながら日本語が変なんだけど
正方行列Aの右逆行列 AX=E のXが存在する時
Aの左逆行列 YA=E のYも存在して、X=Y
を示す

という話なら 、後半のX=Yのの部分は
行列の積の結合則から

YAX=EX=X=YE=Y

で充分だと思う。証明にXとYの逆行列の存在は不要です。

難しいのは「Aの右逆行列が存在するなら左逆行列も存在する」
を証明すること。これを証明しないとX=Yもへったくれも無いのだが、
「存在する」を公理のように扱っている手抜き教科書わりと多いよね。

ありものがたり · Answer

更に確認
・XA = E かつ (AY = E となる Y が存在する) なら X=Y
・XA = E なら (AY = E となる Y が存在して) X=Y
この 2つは同じでしょうか, それとも違うでしょうか?

答えは No.1 に既に書いてある。No.4 でも触れた。

syotao · Answer

一般に
XZ = X
なら Z = E
というのは言えますか？？

X=1、0　　Z=1、0　とすればXZ=X　だけどZはEでないから注意
　  1、0　　　 0、0
つまりXが正則でないと必ずしも成り立たない。

Tacosan · Answer

ちとかくにん.

・XA = E なら AX = E
・XA = E かつ AY = E なら X=Y

この 2つは同じでしょうか, それとも違うでしょうか?

ありものがたり · Answer

←補足 03/19 21:49

いや、No.1 をちゃんと読めよ。
大切な話は、後半のほうだ。

ありものがたり · Answer

No.1 の言うとおり。
「A に右逆行列 X があれば左逆行列もあって両者は等しい」
ってことを示すために、X に左逆行列 A があるからって
X に右逆行列があることを仮定しちゃあ、露骨な循環論法でしょ。

XZ = X のほうは、X(Z-E) = O ってことだから、
X が正則なら X-E = O が成り立つし、非正則なら反例がある。
AX = E の下でってことなら、
XZ = X の両辺左から A を掛ければいい。

もともとの逆行列に関する話は、
素直に素朴にやったらどうだろう？
使うものは、ケイリー・ハミルトンだけで済む。

A を n 次正方行列として
det(A-xE) = φ(x) = Σ[k=0..n](c_k)x^k と定義すると、
ケイリー・ハミルトンの定理から Σ[k=0..n](c_k)A^k = O が成り立つ。
c_0 = φ(0) = detA より、この式は detA ≠ 0 のとき
E = (1/detA)Σ[k=１..n](-c_k)A^k と変形することができ、
X = (1/detA)Σ[k=１..n](-c_k)A^(k-1) と置けば
E = AX = XA と書ける。

X は A の多項式で定義されているから、
AX = XA は自明である。

tknakamuri · Answer

う~ん、正則の根幹の逆行列の存在やその性質の証明に
「正則」の性質を持ち出すのは論理がルーフ°しそうで
危ないとかんじます。

mtrajcp · Answer

AX=E　のとき
|AX|=|E|=1
|AX|=1
|A||X|=1
だから
|A|≠0だからAは正則
|X|≠0だからXも正則

正方行列Aについて

いつもながら日本語が変なんだけど

更に確認

一般に

ちとかくにん.

←補足 03/19 21:49

No.1 の言うとおり。

う~ん、正則の根幹の逆行列の存在やその性質の証明に

AX=E のとき

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