正方行列Aについて

AX = E のとき
XA = E もなりたつって言うときに

XAX = XE = EX
だから XA = E って言ってる人がいました
これってへんじゃないですか？
YX = Y'X
になったときに
Y = Y'っていえるのは
Xが正則で逆行列をもってるときに
YXX^-1 = Y'XX^-1
から Y = Y'
っていえるけどいまはいえなくないですか？
それで
XAX = XE = EX = X
として
一般に
XZ = X
なら Z = E
というのは言えますか？？

質問者からの補足コメント

• 

  佐武さんのにちゃんとかいてありました。
  AX = E
  YA = E
  で家庭して X = EX = YAX = YE = Y
  でできました～

    補足日時：2024/03/19 21:49

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/18 18:30

いつもながら日本語が変なんだけど

正方行列Aの右逆行列 AX=E のXが存在する時
Aの左逆行列 YA=E のYも存在して、X=Y
を示す

という話なら 、後半のX=Yのの部分は
行列の積の結合則から

YAX=EX=X=YE=Y

で充分だと思う。証明にXとYの逆行列の存在は不要です。

難しいのは「Aの右逆行列が存在するなら左逆行列も存在する」
を証明すること。これを証明しないとX=Yもへったくれも無いのだが、
「存在する」を公理のように扱っている手抜き教科書わりと多いよね。

この回答へのお礼

わかりました、ありがとうございます

お礼日時：2024/03/19 21:40

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/20 00:09

更に確認

・XA = E かつ (AY = E となる Y が存在する) なら X=Y
・XA = E なら (AY = E となる Y が存在して) X=Y
この 2つは同じでしょうか, それとも違うでしょうか?

答えは No.1 に既に書いてある。No.4 でも触れた。

この回答へのお礼

ごめんなさいわかりました。

お礼日時：2024/03/20 18:13

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/19 23:06

一般に

XZ = X
なら Z = E
というのは言えますか？？

X=1、0　　Z=1、0　とすればXZ=X　だけどZはEでないから注意
　 1、0　　　 0、0
つまりXが正則でないと必ずしも成り立たない。

この回答へのお礼

そですよね、ありがとうございます

お礼日時：2024/03/20 18:13

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/19 22:22

ちとかくにん.

・XA = E なら AX = E
・XA = E かつ AY = E なら X=Y

この 2つは同じでしょうか, それとも違うでしょうか?

この回答へのお礼

おなじかもっておもいます。

お礼日時：2024/03/19 22:29

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/19 21:58

←補足 03/19 21:49

いや、No.1 をちゃんと読めよ。
大切な話は、後半のほうだ。

この回答へのお礼

ごめんなさい。どういういみですか??

お礼日時：2024/03/19 22:00

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/19 14:10

No.1 の言うとおり。

「A に右逆行列 X があれば左逆行列もあって両者は等しい」
ってことを示すために、X に左逆行列 A があるからって
X に右逆行列があることを仮定しちゃあ、露骨な循環論法でしょ。

XZ = X のほうは、X(Z-E) = O ってことだから、
X が正則なら X-E = O が成り立つし、非正則なら反例がある。
AX = E の下でってことなら、
XZ = X の両辺左から A を掛ければいい。

もともとの逆行列に関する話は、
素直に素朴にやったらどうだろう？
使うものは、ケイリー・ハミルトンだけで済む。

A を n 次正方行列として
det(A-xE) = φ(x) = Σ[k=0..n](c_k)x^k と定義すると、
ケイリー・ハミルトンの定理から Σ[k=0..n](c_k)A^k = O が成り立つ。
c_0 = φ(0) = detA より、この式は detA ≠ 0 のとき
E = (1/detA)Σ[k=１..n](-c_k)A^k と変形することができ、
X = (1/detA)Σ[k=１..n](-c_k)A^(k-1) と置けば
E = AX = XA と書ける。

X は A の多項式で定義されているから、
AX = XA は自明である。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
、X(Z-E) = O ってことだから、
X が正則なら Z-E = O ですか？？

お礼日時：2024/03/19 21:43

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/18 23:00

う~ん、正則の根幹の逆行列の存在やその性質の証明に

「正則」の性質を持ち出すのは論理がルーフ°しそうで
危ないとかんじます。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/18 20:32

AX=E　のとき

|AX|=|E|=1
|AX|=1
|A||X|=1
だから
|A|≠0だからAは正則
|X|≠0だからXも正則

この回答へのお礼

あほんとだ~
いつもほんとにすごいです。
行列式にしてF上の話にすれば正則えいますね?!

お礼日時：2024/03/18 20:47