命題の真偽の問題で 命題〇〇について逆・裏・対偶を延べその真偽を調べよ。 というのの解答が 逆、裏は

命題の真偽の問題で
命題〇〇について逆・裏・対偶を延べその真偽を調べよ。
というのの解答が
逆、裏は反例を示しているのですが、対偶は「もとの命題が真だから対偶も真」と書いてあります。

元の命題の証明はしなくていいんでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 元の命題を証明していなくても、対偶が真であることの理由に「元の命題が真だから」というのは使えるんでしょうか？

    補足日時：2024/04/15 19:43

• すみません。証明という言い方が正しくなかったのかもしれませんが、真偽を調べないと行けないんですよね。
  その理由が「元の命題が真だから」でいいのか、ということを聞きたかったです。
  
  逆に命題が真であることを示したい時も、「対偶が真だから」で良いということですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/15 19:54

• すみません。勝手に具体的な問題は必要ないかと思って省いてしまいましたが、実際には命題は書いてあります。
  
  >対偶について言えば「対偶は真か偽か」なんて一言も聞かれていません。
  「対偶を述べ、その真偽を調べよ」と書いてあります。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/15 20:04

• 命題:x≧1かつy≧1ならばx+y≧2 について、逆・裏・対偶を述べ、その真偽を調べよ。

    補足日時：2024/04/15 20:05

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/15 19:58

＞ 元の命題の証明はしなくていいんでしょうか？

対偶の真偽は、元の命題の真偽と一致します。
対偶の真偽を答えねばならないのなら、
対偶でも元の命題でもどちらでもよいから
真なら真、偽なら偽を証明する必要があるでしょう。

No.8 回答者： AっKI 回答日時： 2024/04/16 14:56

もとの命題が真だということはすぐにわかりますね。

特に証明（何かを示す）ことも必要ないでしょう。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2024/04/15 20:45

命題の真偽と 対偶の真偽は 同じですから、

命題が真ならば 常に 対偶も真になります。
従って「(元の)命題が真だから」で良いのです。
逆 や 裏 が 偽 であるときには、反例を1つ示せば 良いです。

＞命題:x≧1かつy≧1ならばx+y≧2 。
x≧1 ・・・① 、y≧1 ・・・② → ①+② → x+y≧2 。
当然 真 ですよね。

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/04/15 20:45

>>元の命題の証明はしなくていいんでしょうか？

しなくてok。
同値だから、元の命題の証明になってる。

>>命題:x≧1かつy≧1ならばx+y≧2 について

この対偶は、「x+y<2ならば、x<1 又は y<1」で有って、真。

なので、元の命題も真

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/15 20:20

要は「命題Aの逆、裏、対偶およびその真偽を書け」と言う事ですよね。

そう言う問題であれば命題Aの真偽が分からなければ逆等の真偽も分かりません。命題Aの証明ないし反証は当然必要です。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/15 19:54

ひょっとして「命題の真偽を聞かれている」と勘違いしてるのでは? 問題をよく読んで下さい。

対偶について言えば「対偶は真か偽か」なんて一言も聞かれていません。聞かれていないものを証明する必要もありません。そもそも命題が決まっていないのに証明もヘッタクレもないでしょう。

この問題は元の命題とその逆、裏、並びに対偶の関係を問うているわけですから、元の命題との関係が分かっていれば答えられます。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/15 19:42

そもそも「証明しなさい」と言う問題ではありませんよね。

なら証明する必要はありません。元の命題が真の時に対偶はどうなるかを述べればいいだけですから。

No.1 回答者： hinso_0222 回答日時： 2024/04/15 19:40

しなくて良いです