対数積分について

対数積分とはその名の通り対数を積分するものですが、ここでいう積分は、1/logxを2からあるxまで積分するもので、一般にはLi(x)と表わされているようです。ここでもその慣習に従います。
Li(x)≔∫1/logx dx　x=2~x
この式に部分積分を適用すると、Li(x)=x/lobx+1!x/log²x+2!/log³x+…＋(m-1)!/(logx)∧m+…
となりましょう。しかし、こうすると分子にある階乗の効果で、どこまでも値が大きくなってしまうのではないか？という疑問が出てくるのです。例えば、x=10の場合で計算してみると、ｍ＝１０ともなれば、その部分だけで約８６６にもなってしまう。x/logxの項では約４.3程にしかならないのに。
一方で、Li(x)≒x/logx+О(x/log²ｘ)　とも表せるそうです。しかしこうなると、mが３以降は、階乗の項を１として計算しているか、０と見做しているとしか考えられません。
確かに、Li(x)を1/logxのグラフとx軸に挟まれた面積を表す式と解釈するなら、どこまでも大きな値になってしまうのは違うと考えられます。
いったい、どうなっているのでしょうか？部分積分のやり方自体は間違っていると思えないのですが、しかしそうすると、受け入れるのが非常に困難な状況になってしまう。
今更の、非常に基本的なことを質問するようですが、それなりに調べてみても明確な答えに辿り着けないので、疑問を投稿する次第です。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/22 09:14

その部分積分による級数展開するのは有限回のみ有効で∞回行うのは部分的に発散するので正当ではありません

Li(x)≔∫1/logx dx

の正当な級数展開は画像の通り

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/19 19:30

訂正します

その部分積分は発散するようにみえるけれども発散するとはいえません

Li(x)=S(m)+R(m+1)

S(m)=Σ{k=1～m}(k-1)!{x/(logx)^k}

とすると

m項の和
S(m)は
lim{m→∞}S(m)=∞　に発散するのだけれども

剰余項
R(m+1)が
lim{m→∞}R(m+1)=-∞に発散するから

Li(x)=∞-∞

不定形になるので発散するとはいえません

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/14 19:44

x=10の場合で計算してみると、

m=10ともなれば、その部分だけで約866にもなってしまうけれども
x=2の場合で計算してみると、
m=10ともなれば、その部分だけで約28300000にもなってしまうのです

10/log10 =4.34>2.89 =2/log2
10/(log10)^2 =1.89<4.16 =2/(log2)^2
2*10/(log10)^3 =1.64<12.0 =2*2/(log2)^3
3!*10/(log10)^4 =2.13<52.0 =3!*2/(log2)^4
4!*10/(log10)^5 =3.71<300. =4!*2/(log2)^5
5!*10/(log10)^6 =8.05<2160 =5!*2/(log2)^6
6!*10/(log10)^7 =21.0<18700 =6!*2/(log2)^7
7!*10/(log10)^8 =63.8<189000 =7!*2/(log2)^8
8!*10/(log10)^9 =222.<2180000 =8!*2/(log2)^9
9!*10/(log10)^10=866.<28300000=9!*2/(log2)^10

だから

その部分積分は
x=2のときも∞
x=10のときも∞
Σ{m=1～∞}(m-1)!{x/(logx)^m}-Σ{m=1～∞}(m-1)!{2/(log2)^m}
=∞-∞
の不定形になるので不適切です

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/13 09:35

その部分積分は

x=2のときも∞
x=10のときも∞
Σ{m=1～∞}(m-1)!{x/(logx)^m}-Σ{m=1～∞}(m-1)!{2/(log2)^m}
=∞-∞
の不定形になるので不適切です

t=logx
とすると
e^t=x
(e^t)dt=dx
t=log2～logx
e^t=Σ{n=0～∞}(t^n)/n!

(e^t)/t
=Σ{n=0～∞}t^(n-1)/n!
=1/t+Σ{n=1～∞}t^(n-1)/n!
だから

∫[2～x](1/logx)dx
=∫[log2～logx]{(e^t)/t}dt
=∫[log2～logx]{1/t+Σ{n=1～∞}t^(n-1)/n!}dt
=
[logt][log2～logx]+Σ{n=1～∞}{t^n/(n*n!)}[log2～logx]
=
log(logx)-log(log2)+Σ{n=1～∞}{(logx)^n-(log2)^n}/(n*n!)}

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/12 10:47

2からxまで積分するのだから

その部分積分は間違っています

Li(x)=
x/logx-2/log2
+x/(logx)^2-2/(log2)^2
+2{x/(logx)^3-2/(log2)^3}
+3!{x/(logx)^4-2/(log2)^4}
…
+(m-1)!{x/(logx)^m-2/(log2)^m}
…
となりましょう

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/11 20:04

まず積分範囲が 2 からなのか 0 からなのかが混乱しているような気がする.

Li(x)=x/lobx+1!x/log²x+2!/log³x+…＋(m-1)!/(logx)∧m+…
の形の式は「0 から」の方が＊近い＊といえるだろう (なお正しいとはいっていない).
cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_integr …

で, 確かにその級数は収束しない (とちゃんと書かれている). けど, 例えば
Li(x)≒x/logx+О(x/log²ｘ)
のような近似を導くのに, その級数は＊どうしても必要＊なのかねぇ.

この回答へのお礼

情報、ありがとうございます。

お礼日時：2024/05/12 15:06

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/11 16:11

その部分積分は間違っています

Li(x)=
x/logx-2/log2
+1/(logx)^2-1/(log2)^2
+2/(logx)^3-2/(log2)^3
+3!/(logx)^4-3!/(log2)^4
…
+(m-1)!/(logx)^m-(m-1)!/(log2)^m
…
となりましょう

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/11 14:20

どう部分積分すると

∫[2〜x] 1/logx dx = x/log x + x/log² x + Σ[m=3→∞] (m-1)!/(log x)^m
になるのかよくわからんけど、そうはならんでしょ。

冪級数 Σ[m=3→∞] (m-1)! z^m は収束半径 0 だから、
どんな z = 1/log x を代入しても、収束しない。