代数

F_3上で2次多項式が既約なものはx^2＋1以外に何があるのでしょうかよろしくお願いします

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/23 19:33

1個ずつ書き出す方法

2次のf(x)　　　f(0)　f(1)　f(2)
1x^2+0x+0　　0　　1　　1
1x^2+0x+1　　1　　2　　2　　x^2+1
1x^2+0x+2　　2　　0　　0
1x^2+1x+0　　0　　2　　0
1x^2+1x+1　　1　　0　　1
1x^2+1x+2　　2　　1　　2　　x^2+x+2
1x^2+2x+0　　0　　0　　2
1x^2+2x+1　　1　　1　　0
1x^2+2x+2　　2　　2　　1　　x^2+2x+2
2x^2+0x+0　　0　　2　　2
2x^2+0x+1　　1　　0　　0
2x^2+0x+2　　2　　1　　1　　2x^2+2
2x^2+1x+0　　0　　0　　1
2x^2+1x+1　　1　　1　　2　　2x^2+x+1
2x^2+1x+2　　2　　2　　0
2x^2+2x+0　　0　　1　　0
2x^2+2x+1　　1　　2　　1
2x^2+2x+2　　2　　0　　2

既約なものは、右の列に書いた 5 個。
ただし、
x^2+2 = 2(x^2+1),
2x^2+x+1 ≡ 2x^2+4x+4 = 2(x^2+2x+2)
なので、これらは独立なものとは考えない。
(モニックでないことが問題なのではないが。)

この回答へのお礼

詳しく具体例でご説明を下さり本当にありがとうございますよくわかりました

お礼日時：2024/05/24 14:19

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/23 13:52

有限体なので1個ずつ書き出す方法でも可。

それ以外だと、
「2次多項式がZ_3上で既約である」、言い変えると「Z_3に根を持たないこと」なので、

2次でモニック(最高次の係数が1)なんだから、x²+ax+b（a,b=0,1,2）の形。

根を「持つ」ものを書き出して見ると
0を根に持つのはb=0の場合だけ。
1を根に持つのはa+b=2の場合だけ。
2を根に持つのは2a+b=2,5の場合だけ。

これらを除く「根を持たないもの」を書けば良い訳だから、
(a,b)=(0,1),(1,2),(2,1)の場合だけになる。

それを全部書き出すと
x²+1, x²+x+2, x²+2x+1の3個

この回答へのお礼

詳しくご説明頂き誠に有り難うございますよくわかりました

お礼日時：2024/05/23 17:43