(1)長さlの棒の中点を通り、棒に垂直な軸に関する慣性モーメントdIは棒の質量をdm、中心からの長さ

(1)長さlの棒の中点を通り、棒に垂直な軸に関する慣性モーメントdIは棒の質量をdm、中心からの長さをbとすると、

dI=b^2dm/3である。

これを用いて辺の長さが2a、2bの薄い長方形の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントIx、Iy、Izを求める問題について(x軸方向の長さがa、y軸方向の長さがb)
(∮をインテグラルとしてます)

棒の慣性モーメントI=b^2M/3なのに∮をつけて
Ix=∮dI=∮b^2dm/3として式を立てるのは棒から長方形になったことで微小体積dmが棒の方はρdxなのに長方形の方は2aρdyとなっているため積分する前に戻してIx=∮dI=∮b^2dm/3というように式を立て直し
M=4ρab
Ix=2aρ b^2/3・∮(-b〜b)dy=4ρab^3/3=M b^2/3
として求めていくという理解でいいですか？

そのため、
(2)直径2a、高さhの円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントIx,Iy,Izを求める問題についてもM=ρπr^2
円板の慣性モーメントIz=∮(0〜a)r^2・2πrρdr=Ma^2/2

対称性からIz=Ix+Iy、よってIx=Ma^2/4
これはzだけz軸の方向にある円板なので平行軸の定理より、M=ρhπa^2
dIx=z^2dm+a^2dm/4 =∮(-h/2〜h/2)z^2 ρπa^2dz+ ρπa^4dz/4=M(h^2 +3a^2)/12

なぜ積分する前に戻すのかというとdmが円板ではρπa^2で求めていたがdmがρπa^2dzに変化するためdmを置き直すという理解。

聞きたいことををまとめると
(一つ目) 棒の慣性モーメントI=Mb^2/3を用いて長方形の慣性モーメントを求める時IxやIyの式が積分する前に戻されdmになる理由について。

(二つ目)(2)で円板でIzを求めたあと、なぜz軸の方向にzだけ動いていると考えて平行軸の定理を用いて円柱のIx、Iyを求めるんですか？そのままIx=Iz/2とおいてMa^2/4はおかしいんですか？

この2つについて教えてほしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/17 17:26

ほとんど物理カテの話だけど・・・

(1)

xが盛んに出てくるけど、全然説明がないよね。
棒は x軸に沿ってx軸の上に置かれているイメージだろうか？
そうすると Ix はゼロになってしまうから、I = Iy や Iz を求めたいはず。

そういう方針で以下を書いてゆきます。

>dI=b^2dm/3である。
間違い。なんでこうなると思うのか是非説明が欲しい。
そもそも /3 はどこから出てきた？

素直に定義通りに
dI = x^2・dm = x^2・ρdx (ρ: x方向の単位長さあたりの質量)
ρ=M/(2b) だから
dI = x^2・M/(2b)・dx
両辺を x=-b から b まで積分して
Iy=Iz=∫dI = ∫[x=-b～b]x^2・M/(2b)・dx = b^2・M/3

長方形の場合、x=-b～b, y = -a～a の範囲に長方形が置かれているとすると

同様にy軸まわりの慣性モーメントは
dIy = x^2・dm = x^2・ρdx (ρ: x方向の単位長さあたりの質量)
ρ=M/(2b) だから式は前の式と変わらず
Iy=∫[x=-b～b]dIy = ∫[x=-b～b]x^2・M/(2b)・dx = b^2・M/3

同様にx軸まわりの慣性モーメントは
dIx = y^2・dm = y^2・ρdy (ρ: y方向の単位長さあたりの質量)
ρ=M/(2a) だから式は前の式と変わらず
∫dI = ∫[x=-a～a]y^2・M/(2a)・dy = a^2・M/3

ρを面積当たりの質量(面積密度)にしたいなら
ρ = M/(2a・2b) = M/(4ab)
dIy = x^2・dm = x^2・2aρdx
dIx = y^2・dm = y^2・2bρdy
となるだけで後は同じ。

>(一つ目) 棒の慣性モーメントI=Mb^2/3を用いて
>長方形の慣性モーメントを求める時IxやIyの式が
>積分する前に戻されdmになる理由について。

そうはならない。

(2)
>対称性からIz=Ix+Iy、よってIx=Ma^2/4

これはz方向に厚みのない薄板でしか成り立たないので注意。

円柱では成り立たないので
原点に中心のある薄い円盤では
dIz=dIx+dIy =a^2・dm/2 → dIx=a^2・dm/2
原点からz離れた薄い円盤の慣性モーメントは
dIx = z^2・dm + a^2・dm/4

これを積分したのが Ix

>dIx=z^2dm+a^2dm/4 =∮(-h/2〜h/2)z^2 ρπa^2dz+ ρπa^4dz/4
>=M(h^2 +3a^2)/12

書き方が適当すぎる。

dIx=z^2・dm+a^2・dm/4
の両辺を dz = -h/2 ～ h/2 で積分すると
I=∫[-h/2〜h/2]z^2 ρπa^2・dz+ ρπa^4・dz/4

とかかないと変。周回積分記号を単なる積分に使うのはやめよう。

>(二つ目)(2)で円板でIzを求めたあと、
>なぜz軸の方向にzだけ動いていると考えて
>平行軸の定理を用いて円柱のIx、Iyを求めるんですか？
>そのままIx=Iz/2とおいてMa^2/4はおかしいんですか？

それぞれの薄い円盤の慣性モーメントの総和としての慣性モーメントを求めるから。
厚さdzの各円盤の慣性モーメントを求め、dzで積分すれば
慣性モーメントが求まります。

>そのままIx=Iz/2とおいてMa^2/4はおかしいんですか？

おかしいです。例えば針金のような細い円柱を考えてください。
Iz は a が小さければいくらでも小さくできますが、
Ix, Iy は a が小さくなると棒に垂直で棒の中点を軸とする
慣性モーメントに近づくはずです。Ma^2/4じゃ全然話が
あいません。棒の公式と全然合わないでしょ？

Ix=Iz/2　が成り立つのは z 方向に限りなく薄い物体だけです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/18 16:47

一部訂正

>原点に中心のある薄い円盤では
>dIz=dIx+dIy =a^2・dm/2 → dIx=a^2・dm/2
原点に中心のある薄い円盤では
dIz=dIx+dIy =a^2・dm/2 → dIx=a^2・dm/4

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/16 21:08

＞棒の慣性モーメントI=b^2M/3なのに∮をつけて

＞・・・
＞として求めていくという理解でいいですか？

意味不明です。
おそらく「全く間違っている」ように見えます。

従って「聞きたいこと」も意味不明です。
「積分前に戻す」って何のこと？

質問者さんは、前の質問も含めて、「慣性モーメント」の基本的な意味合いやその求め方（基本は「質点の慣性モーメント」を求める立体について成分する）を全く理解できていないようにお見受けします。

ここでは、「棒」の慣性モーメントから、「平板」の慣性モーメントに「積分」します。

a だの b という「文字」に惑わされずに、dm の「長さ」方向の取り方によって、
　dI = (1/3)a^2･dm
　dI = (1/3)b^2･dm
と考えればよいです。

また、y 方向の長さが 2b で、x方向の微小長さが dx であれば
　dm = ρ･2b･dx
だし、x 方向の長さが 2a で、ｙ方向の微小長さが dy であれば
　dm = ρ･2a･dy
いずれも面密度は
　ρ = M/(2a･2b) = M/(4ab)
です。

従って、

Ix = ∫[-a→a](1/3)b^2･[M/(4ab)]･2b･dx
　= [Mb^2/(6a)]∫[-a→a]dx
　= [Mb^2/(6a)][-a→a][x]
　= (1/3)Mb^2

Iy = ∫[-b→b](1/3)a^2･[M/(4ab)]･2a･dy
　= [Ma^2/(6b)]∫[-b→b]dy
　= [Ma^2/(6b)][-b→b][y]
　= (1/3)Ma^2

z 軸周りの慣性モーメントの求め方は、「棒」の慣性モーメントからではなく、「質点」の慣性モーメントから求めた方が簡単です。
質量mで、回転軸からの距離 r の質点の慣性モーメントは
　I' = mr^2
です。
これを使えば、z 軸から r の微小面積 dxdy の慣性モーメントは
　m = ρdxdy
なので
　dI = r^2･ρdxdy
ここで、三平方の定理から
　r^2 = x^2 + y^2
です。

従って、
　Iz = ∫[x:-a→a]∫[y:-b→b](x^2 + y^2)dxdy
　　= [M/(4ab)]∫[x:-a→a]{∫[y:-b→b](x^2 + y^2)dy}dx
　　= [M/(4ab)]∫[x:-a→a]{[x^2･y + (1/3)y^3][-b→b]}dx
　　= [M/(4ab)]∫[x:-a→a]{2b･x^2 + (2/3)b^3}dx
　　= [M/(4a)]∫[x:-a→a]{2x^2 + (2/3)b^2}dx
　　= [M/(4a)][(2/3)x^3 + (2/3)b^2･x][x:-a→a]
　　= [M/(4a)][(4/3)a^3 + (4/3)b^2･a]
　　= M[(1/3)a^2 + (1/3)b^2]
　　= (1/3)M(a^2 + b^2)