当選確率5%（5/100）のくじを32回引いたとき、実際に80％で当たる？

当選確率5%（5/100）のくじを32回引いたとき、実際に80％で当たるのでしょうか。

1 − ( 1 − P ) N

これを利用するらしい。

20個あって、その中に投げたら、1つに入るかも知れない、というものですよね。

確率の数値としては、5%は高い方なのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ほい3 回答日時： 2024/07/28 06:48

1/20 x 32=32/20=16/10=1.6

当選確率は160％で、たぶん当たると言えます。

しかし、全部外れる可能性もありその確率は
(19/20)＾32≒0.193　
約19％です。
同じことをした5人に一人は、全ハズレという話です。

＞確率の数値としては、5%は高い方なのでしょうか
1回勝負なら、メチャ低いし、
32回もひけるなら、かなり高い。

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/29 07:33

No.7です。

80％の解釈の、その２です。

あなたが32回応募するという行為を１試行として、その試行を何度も何度も繰り返すと、そのうち80％は１回以上当選するという意味です。
単に32回クジを引くうちに何％当たるかという確率とは違います。

No.7では、何度も何度も繰り返すところを、何人もが応募していて、そのうち80％の人が１回は当選していると書いています。

単に32回クジを引くのと、何が違うか？
上記１試行内での当選数ですが、それは二項分布に従います。
二項分布の期待値はｎｐですので、32×0.05＝1.6
実際には、何度も何度も繰り返すと、平均1.6回当選していることになります。
平均160％の当選率です。

一方、幾何分布は、何回目で当選するかという分布で、二項分布とは異なります。
つまり、32回目までに１回は必ず当たる、という確率が80％。
（32回中に当選が出る確率は160％ですから、注意が必要です）

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幾何分布の期待値は、１／ｐで、これは20回です。
ところが、期待値にて半数の人が当選しているわけではありません。それは、
１－(１－0.05)^n ＞ 1/2　と置いて解けばよく、
1/2 ＞ (１－0.05)^n
ーlog2 ＞ ｎ・log(１－0.05)
ーlog2 ／ log(１ー0.05) ＜ ｎ ･･･log(１ー0.05)は負値→不等号逆転
13.5 ＜ ｎ

つまり13.5回クジを引けば、半数の人は当選している（中央値）ということになります。
No.3さんが、反復32回が多すぎると言われるのは、こういうことだろうと思います。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/29 02:01

＞ 実際に80％で当たるのでしょうか。

あなた自身は、No.2さんNo.6さんがおっしゃるとおり、20回に1回の割合で当選します。32回応募すれば、2回くらい当選するかもしれません。100％超えていますよ。

1-(1-p)^n は、幾何分布（何回目で当選するか）の累積分布関数です。
試行数nを増せば、100％に漸近していきます。
このとき32回で累積確率80％になるという意味は、
32回目では80％の人が1回は当選しているという意味です。
これは、No.2さんも言及されているとおり、1回も当選しない人の排他です。


＞ 確率の数値としては、5%は高い方なのでしょうか。

くじの確率としては、何とも言えません。（統計的検定では、低いと考える境界なんですけど）
それは、景品額×当選者数＝景品総額から決まるからです。
景品法での景品総額は、一般懸賞の場合、取引予定総額（売上げ）の100分の2以内となっています。
上の式で、当選者数＝応募者数×当選確率です。
つまり、当選確率は、これらの式から逆算されますので、

・景品額が大きければ、例えば現金10万円とかだと当選確率を下げる必要がありますし、
・景品額が小さければ、例えば記念ボールペンとかだと５％くらい当選させても良いでしょう。

普通は、「５人にプレゼント」とか当選者数を決めておきますが、スクラッチなど予め仕込んでおくものは確率に依らずを得ず、設定が難しいです。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/28 19:22

確率 1/20 なんだから、20回引けば必ず当たりそう、とは思いませんか？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/28 11:41

「一回以上当たる」という事象は

「全部外れ」という事象の余事象なので

「全部外れ」の確率は (1-0.05)^32≒0.1937
ですから
「一回以上当たる」≒1-0.1937=0.8063

>確率の数値としては、5%は高い方なのでしょうか。

32回も引いて―回当たれば儲かるという話なら「高い」と思う。
どういう条件に当てはまれば「高い」と判断できるかに依る。

No.4 回答者： Epsilon03 回答日時： 2024/07/28 09:22

計算上の数字と実際とでは必ずしも一致する訳ではありません。

むしろ一致しない方が当たり前でしょう。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/28 08:58

確率 5%が高いというより、

反復 32回が多いんだよ。
1 - (1 - p)^n の p, n を
いろいろ変えて値を比べてみ。

No.1 回答者： youkushateria 回答日時： 2024/07/28 06:39

それはあなたの気持ち次第でしょう。

45回引けば90%だし、90回引けば99%の確率で当たる可能性があります。これをどう考えるかではないですか？