数学（数列）の問題です。ーどなたか教えて下さいー

a1=1, a[n+1] =1/(a[n]+1) (n=1,2,3, ...)で定まる数列{a[n]}について以下の問いに答えよ。
（１）a2, a3, a4, a5の値を求めよ。
（２）b1=1, b[n]/b[n+1] =a[n] (n=1,2,3, ...)で定まる数列{b[n]}について、b[n+2]をb[n+1]と
b[n]を用いて表せ。
（３）k=1,2,3に対して、b[k]=M*(α^k-β^k)を持たすα,β(α>=β)と正数Mの値を求めよ。
（４）b[n]=M*(α^n-β^n) (n=1,2,3,4, ...)が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
（５）数列{a[n]}の一般項をα,βを用いて表せ。

＊（１）～（３）までは解いてみましたが．．．合っているか？。
（１）a2=1/2, a3=2/3, a4=3/5, a5=5/8
（２）b[n+2] =b[n+1] +b[n]
（３）α= (1+√5)/2, β= (1-√5)/2, M=1/√5

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/31 10:18

合っている

α=(1+√5)/2
β=(1-√5)/2
α^2=1+α
β^2=1+β
M=1/√5
P[n]={b[n]=M(α^n-β^n),b[n+1]=M(α^{n+1}-β^{n+1})}
とする
P[1]={b[1]=1=M(α-β),b[2]=1=M(α^2-β^2)}
は真
ある自然数nに対してP[n]が真と仮定すると
b[n]=M(α^n-β^n)
b[n+1]=M(α^{n+1}-β^{n+1})
が成り立つ

b[n+2]
=b[n]+b[n+1]
=M(α^n+α^{n+1}-β^n-β^{n+1})
=M(α^n(1+α)-β^n(1+β))
↓α^2=1+α,β^2=1+β だから
=M(α^n(α^2)-β^n(β^2))
=M(α^{n+2}-β^{n+2})
だから
P[n+1]={b[n+1]=M(α^{n+1}-β^{n+1}),b[n+2]=M(α^{n+2}-β^{n+2})}
も真
すべての自然数nに対して、P[n]は真だから
すべての自然数nに対して、
b[n]=M(α^n-β^n)
が成り立つ

a[n]
=b[n]/b[n+1]
=(α^n-β^n)/(α^{n+1}-β^{n+1})

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/31 10:27

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/31 09:59

> 止まっています

まず、α² = α + 1 , β² = β + 1 を証明すると良いかな。「黄金比」って聞いたことありますかね？

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
「黄金比」ってはじめてうかがいました。

お礼日時：2024/07/31 10:14

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/30 22:17

(2)は(3)を、(2),(3)は(4)を、(2)〜(4)は(5)の解き方を示している。

そして、(5)の答が出たら(1)の結果を使って検算しなさい、ってことです。つまり、(1)〜(4)は(5)を解くための手順を教えている。それをわかって取り組んでます？

この回答へのお礼

早々に回答有り難うございました。
（４）の数学帰納法の解答で止まっています。もしよろしければ、（４）（５）の解法を教えていただければ幸いです。

お礼日時：2024/07/31 08:37

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/07/30 19:59

合っている。

この回答へのお礼

早々に回答有り難うございました。
（４）の数学帰納法の解答で止まっています。もしよろしければ、（４）（５）の解法を教えていただければ幸いです。

お礼日時：2024/07/31 08:36