デルタ関数のラプラス変換の証明について書かれている記事などあれば教えてください． どのような知識が入

デルタ関数のラプラス変換の証明について書かれている記事などあれば教えてください．
どのような知識が入りますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/31 14:57

（t≧0 で定義される関数f(t)に限定して考える）ラプラス変換における超関数としてのデルタ関数は

　　t＞0 ⇒ δ(t) = 0
　　∫[0〜∞] δ(t) dt = 1
と特徴づけられます。
　さて、超関数にはいろんな捉え方（定義の仕方）がある。例えば（No.1のように）「ある性質を持つ演算子」とする見方もあるし、「関数たちの極限」と見ることもできます。
　後者の立場ですと、例えば関数たちの極限
　　 δ(t) ＝ lim[a→∞] a e^(-at)
は上記の特徴を満たします。そして
　　L[ a e^(-at) ] = a/(s + a)
ですから
　　L[ δ(t) ] ＝ lim[a→∞] L[ a e^(-at) ] = lim[a→∞](a/(s + a)) = 1
ってことです。
　しかし、δ関数の微分を考える必要がない用途なら、
　　δ(t) ＝ lim[a→∞] if (0≦ t < a) then 1/a else 0
　　　= lim[a→∞] U(t)U(a - t)/a
とするのもアリです。（こちらも（convolution定理を使って）ラプラス変換してみてください。）

　なお、（tが実数全体にわたる関数f(t)についての）フーリエ変換においては、デルタ関数はガウス関数を使って
　　δ(t) = lim[a→∞] (1/(√(2πa)))e^(-t²/(2a))
とやるのが普通ですが、もちろん用途によっては
　　δ(t) = lim[a→∞] if |t|<a/2 then 1/a else 0
でも足りる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/31 03:11

必要なのは、「デルタ関数」は関数ではなくて超関数だということ。

そして、超関数の一般的な定義を知るべきでしょう。

L[ δ(t) ] は、δ を δ(t) → ∫[0,∞] δ(t) e^(-st) dt で変換してるんじゃなくて、
「デルタ関数」 δ: f(t) → ∫[0,∞] δ(t) f(t) dt = f(0) を使って
e^(-st) を δ： e^(-st) → e^(-s・0) = 1 と変換しているのです。