γ^0

ディラックのγ行列のγ^0の解き方を教えて下さい

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/12 16:21

ディラックのγ行列 γ^k って、

(γ^i)(γ^j) + (γ^ｊ)(γ^i) = 2(g^i,j)E が定義。
ここで、 g^i,j は計量テンソルで、E は単位行列。
i = j = 0 を代入すれば (γ^0)² = E になる。
この行列方程式を解く。

γ^0 の固有方程式は λ² = 1 になって、固有値は λ = ±1.
固有値が ±1 のみからなるジョルダン標準形 J と
任意の正則行列 P によって γ^0 = PJ(P^-1) と置くと、
方程式は J² = E と変形できる。
ジョルダン胞
　　λ　　1
　　0　　λ
の2乗が
　　λ²　2λ
　　0　　λ²
であることを考えれば、
J² = E となるのは J が対角行列のときだけ。