高校数学です。 極限のこの画像の解き方って間違ってますか？

高校数学です。
極限のこの画像の解き方って間違ってますか？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/28 19:15

[ (2n+1)/√n ] ≦ (2n+1)/√n < [ (2n+1)/√n ] + 1

より、 n > 1 のとき
[ (2n+1)/√n ] > (2n+1)/√n - 1
　　　　　　　= 2√n + (1/√n) - 1
　　　　　　　> 2√n + 0 - √n
　　　　　　　= √n.
lim{n→∞} √n = +∞ は自明だろうから、
例の定理 (「劣数列発散定理」って呼んでいい？
それとも「はさみうちの原理」っていう？
「ハサミウチの定理」は、たぶんちょっと違う。
そもそも、ここまで基本的で自明な定理に名前なんかついてる？)
より、lim{n→∞} [ (2n+1)/√n ] = +∞.

lim{n→∞} √n = +∞ も示せって言われたら、
二項展開で √n = (1 + (n-1))^(1/2) = 1 + (1/2)(n-1) + ... > 1 + (1/2)(n-1)
でも使うかな。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/28 14:56

画像の通り

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/28 10:12

重箱の隅をつついておくと,

1, 2 より
のあとの式は不等号がおかしい.

それ以前がおかしいのでこの指摘に意味はないけど.

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/28 07:20

①はn≧2で

1/√(n)≦1/[√(n)]<1/(√(n)-1)
が正しい。[]を外に出したままひっくり返したら駄目。

任意のaに対して a-1<[a] だから
(2n+1)/√(n) -1 が∞に発散することを示せば充分。
挟まなくていい。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/28 05:45

n=2のとき

1/√n=1/√2>0=[1/√2]=[1/√n]
だから
1/√n≦[1/√n]
は
間違ってます

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/27 23:57

ほぼいいけど、違うと言えばちょっと違う。

ハサミウチの定理は、lim a(n) = lim c(n) = L が収束するとき
a(n) ≦ b(n) ≦ c(n) ならば lim b(n) = L も収束する ってもの。
類似の定理で lim a(n) = ∞ に発散するとき
a(n) ≦ b(n) ならば lim b(n) = ∞ も発散する ってのもあって　←[＊]
今回の証明に使えるが、
それを「ハサミウチの定理」と呼んでよいかは微妙。

写真の証明は、特に ≦ (2n + 1)/(√n - 1) → ∞ を持ち出して
しまっているから、ハサミウチの定理をよく理解してないことは
バレてしまってるとは言えるだろう。

[＊] の定理に、何か名前はあったかな？
a(n) や b(n) が n 項の有限和だった場合には「劣級数発散定理」
という名前があるが、級数でない場合に何と呼ぶのかは知らない。