数Ⅲの問題の解き方で分からないところがあります。

「1<m≦nを満たす自然数m,nに対し、不等式∫[m→n+1]dx/x < Σ[k=m→n]1/k <∫[m→n+1]dx/(x-1) が成り立つことを証明せよ 」

という問題なのですが、

「1<m≦nを満たす自然数m,nに対し、

m-1≦k≦n となる整数k に対して

k<x<k+1　となるxに対して

1/(k+1)<1/x<1/k

↓各辺を(k→k+1まで)xで積分すると

∫[k→k+1]{1/(k+1)}dx<∫[k→k+1](1/x)dx<∫[k→k+1](1/k)dx
{1/(k+1)}∫[k→k+1]dx<∫[k→k+1](1/x)dx<(1/k)∫[k→k+1]dx

1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx<1/k…①

①から
∫[k→k+1](1/x)dx<1/k

↓両辺を(k=m→nまで)加えると

Σ[k=m→n]∫[k→k+1](1/x)dx<Σ[k=m→n]1/k

∫[m→n+1](1/x)dx<Σ[k=m→n]1/k…②

①から
1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx

↓両辺を(k=m-1→n-1まで)加えると

1/(k+1)<∫[k→k+1](1/x)dx

Σ[k=m-1→n-1]1/(k+1)<Σ[k=m-1→n-1]∫[k→k+1](1/x)dx

↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから

Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt
Σ[j=m→n]1/j<∫[m→n+1]{1/(t-1)}dt

↓jをkに,tをxに置き換えると

Σ[k=m→n]1/k<∫[m→n+1]{1/(x-1)}dx

↓これと②から

∫[m→n+1](1/x)dx < Σ[k=m→n]1/k <∫[m→n+1]{1/(x-1)}dx」

という風に解けると教わったのですが、
「↓j=k+1,t=x+1とするとk=j-1,x=t-1,dt=dxだから
Σ[j=m→n]1/j<Σ[j=m→n]∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt」
のところが、k=j-1なのに定積分の範囲が∫[j-1→j]にならず∫[j→j+1]になるのは何故なのかが分かりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/23 20:22

∫[k→k+1](1/x)dx

の
k→k+1
と
は

x=k～k+1

という意味で

k=j-1
x=t-1

だから

(t-1)=(j-1)～j

だから

t=j～j+1

だから

∫[j→j+1]{1/(t-1)}dt

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/24 22:39

「1<m≦nを満たす自然数m,nに対し、不等式∫[m→n+1]dx/x < Σ[k=m→n]1/k <∫[m→n+1]dx/(x-1) が成り立つことを証明せよ 」

m-1 ≦ k < x < k+1 ≦ n+1 の範囲の x について
1/(k+1) < 1/x < 1/k であることより、
この式を x=k→k+1 の範囲で積分して
　1/(k+1) < ∫[k→k+1]{ 1/x }dx < 1/k.

不等式の左半分を k=m-1→n-1 の範囲で総和して
　Σ[k=m-1→n-1] 1/(k+1) < ∫[m-1→n]{ 1/x }dx.　…[A]

不等式の右半分を k=m→n の範囲で総和して
　∫[m→n+1]{ 1/x }dx < Σ[k=m→n] 1/k.　…[B]

になるとこまでは ok ってことかな。
[B] は、そのまま導きたい不等式の左半分になっているが、
[A] は、少し調整が必要だね。

積分変数 x や総和変数 k は、
それが司る ∫ や Σ の中で一貫するようにすれば
変数変換することが可能だった。

j=k+1, t=x+1 で変換すると、
Σ[k=m-1→n-1] 1/(k+1) = Σ[j=(m-1)+1→(n-1)+1] 1/j
　　　　　　　　　　　= Σ[j=m→n] 1/j,
∫[m-1→n]{ 1/x }dx = ∫[(m-1)+1→(n)+1]{ 1/x }(dx/dt)dt　；置換積分
　　　　　　　　　= ∫[m→n+1]{ 1/(t-1) }(1)dt
　　　　　　　　　= ∫[m→n+1]{ 1/(t-1) }dt.
となって、[A] が
Σ[j=m→n] 1/j < ∫[m→n+1]{ 1/(t-1) }dt
と変形できた。この式は、
Σ[k=m→n] 1/k < ∫[m→n+1]{ 1/(x-1) }dx　…[A’]
と書いても同じ意味だった。

[B] と [A’] を合せると、目的の式になる。


質問は
＞ k=j-1 なのに定積分の範囲が ∫[j-1→j] にならず ∫[j→j+1] になるのは何故
とのことだが、上記の式変形を見れば判るように、
積分区間の変形は、 t=x+1 の変換であって、 k=j-1 は関係がない。

ｘ=m-1 から x=n までの dx での積分を t=x+1 で変換すると、積分区間は
x=ｍ-1 に対応する t=m から
x=ｎ に対応する t=n+1 までの dt での積分になる。