統計学、正規分布の問題です。

平均0と分散1をもつ正規分布からzを無作為に抽出した結果、確率P(-Z≧z≧Z)が次のようになるような臨界値Zの値を求めよ。
(1)0.99

という問題の解説で、
1− (1−0.99)/2 ＝0.995とあるのですが、最初1から引く理由が分かりません。
(1−0.99)/2からP(Z<=z)を求めてはいけないのでしょうか？与えられている正規分布表には(1−0.99)/2の値は載っています。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/11/13 15:15

＞ 与えられている正規分布表には(1−0.99)/2の値は載っています。

これは、「すそ野の0.5％点のu値あるいはz値を求める」という考え方ですね。

標準正規分布表には、２とおりの表があります。

①ご質問者様が見ている表のように、片側の裾野の確率を与えるu値あるいはz値を示した正規分布表です。片側表と言われることもあります。
（この亜流として、両側の裾野の合計確率を用いた「両側表」というのもあります）

②本問の解説では、その片側のすそ野の0.5％を全体の１から引いています。これは「累積確率」になります。このように累積確率99.5％点を与えるu値あるいはz値を示している正規分布表です。累積確率表と言われることもあります。

それで、結論を申しますと、ご質問者様が正しいです。

①の表を示しておきながら、②の方法で解け、というのには無理がありますね。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/15 20:00

正規分布表には、Z≧ｚ となる確率を数表にしたものと

0≦Z≦ｚ となる確率を数表にしたもの の２種類があります。

0≦Z≦ｚ となる確率の表が手元にあるのなら、あなたが言うようにすればいいし、
Z≧ｚ となる確率の表を使って計算するのなら、その解説のようにする必要があるでしょう。
どちらの表を持ってるか次第ですよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/11/20 08:33

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/13 15:12

＞与えられている正規分布表には(1−0.99)/2の値は載っています。

だったらそれを使えばよいです。
下記のような標準正規分布表（下側確率の表）で

(1−0.99)/2 = 0.5 - 0.495

の「0.495」を読み取るということですよね？
↓
https://home.hiroshima-u.ac.jp/saisho/normaltabl …


もし下記のような「上側確率」の標準正規分布表であれば
　P(-x ≦ z ≦ x) = 2P(0 ≦ z ≦ x) = 1 - 2P(x ≦ z) = 0.99
から
　P(x ≦ z) = 0.005
に最も近い x を探せばよいです。
お示しの式は、おそらくこの計算を説明しているのでしょうね。

x ≒ 2.58 ぐらいでしょうか。

標準正規分布表
↓
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …

どの部分の確率の表か、自分が求めたい確率がどの範囲か、ということをよく考えれば迷わなくなると思います。

表計算ソフト「エクセル」の関数を使えば
　NORM.S.INV(確率)
ですが、これは「累積確率」(-∞～x までの確率）に対する「確率変数の値」を返してきますので、この場合には
　累積確率 = 0.995
の値を求めることになります。（-∞～-x 分の「0.005」を差し引かないといけない）
やってみれば
　=NORM.S.INV(0.995)
　≒ 2.575823
になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/11/20 08:34

No.1 回答者： kuukun107 回答日時： 2024/11/13 14:59

解説

まず、問題の意味を整理します。

確率  というのは、「標準正規分布である区間  の範囲内に、全体の99%のデータが含まれるような値 」を求めたい、ということです。これは両側の区間を考える問題です。

1. 「両側」確率の考え方
標準正規分布は左右対称なので、  の区間を中心とする両側部分に0.99の確率が含まれる場合、左右の端、つまり区間外に残る確率は  になります。
2. 片側の確率に変換する
 の外側の確率は全体で0.01ですが、分布の左右が対称なので、片側あたりの確率はその半分、つまり  になります。
3. 片側の確率を使って  を求める
「 の区間に0.99が含まれる」という条件から、左右それぞれに0.005の確率が外側にあることになります。そこで、右側の片側確率が0.995になるような  を探せば良いということになります。
これを式で表すと、次のようになります：


このため、「1から引く」という操作が必要になるのです。

結論

片側確率を0.995とした理由は、両側で0.99の範囲に収めるために、残りの片側0.005を計算するという両側確率の考え方に基づいています。

上記は生成AIの解答です。
参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/11/20 08:34