関数 f(x)=sin(3x) (0<x=<π/6)について。 フーリエ余弦級数を導出してください。

関数 f(x)=sin(3x) (0<x=<π/6)について。
フーリエ余弦級数を導出してください。
いつも周期が2πのときしかやったことなくて、今回の場合どうすればいいかわかりません。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/23 20:38

フーリエ余弦級数展開は偶関数の周期関数に対して行うものです

問題は偶関数の周期関数ではないので間違っています

問題を

f(x)=sin(3x) (0<x≦π/3) であって,f(x+π/3)=f(x)　とする
f(x)　のフーリエ級数展開を求めよ

とします

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/23 16:34

フーリエ級数、フーリエ余弦級数が何であるかは、

あなたが放置した前回質問↓の No.5 を参照。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13967561.html#googl …

前回書いたとおり、その f(x) は周期 π/6 で周期拡張しても
偶関数にならないので、そのフーリエ級数は
フーリエ余弦級数にはなりません。

前回書いた
f(x) = (a_0)/2 + Σ[n=1→∞]{ (a_n) cos( (2π/T)(nx) ) + (b_n) sin( (2π/T)(nx) ) }
ただし
a_n = (2/T) ∫[0,T] f(x) cos( (2π/T)(nx) ) dx,
b_n = (2/T) ∫[0,T] f(x) sin( (2π/T)(nx) ) dx
を
T = π/6 で質問の f(x) にあてはめると、
a_n = (12/π) ∫[0,π/6] sin(3x) cos(12nx) dx
　　= 4/(π(1 - 16n^2)),
b_n = (１2/π) ∫[0,π/6] sin(3x) sin(12nx) dx
　　= -16n/(π(16n^2 - 1))
となり
f(x) = 2/π + Σ[n=1→∞]{ 4/(π(1 - 16n^2)) }cos(12nx)
　　　　　+ Σ[n=1→∞]{ 16n/(π(1 - 16n^2)) }sin(12nx).
これが f(x) のフーリエ級数展開です。

このフーリエ級数は、sin項と cos項を両方持つので、
フーリエ正弦級数でもフーリエ余弦級数でもありません。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/23 15:48

フーリエ級数展開は周期関数に対して行うものです

問題は周期関数ではないので間違っています

問題を

f(x)=sin(3x) (0<x≦π/6) であって,f(x+π/6)=f(x)　とする
f(x)　のフーリエ余弦級数部分を求めよ

とします