f(x)=sin3x (0,π/6］のフーリエ正弦級数とフーリエ級数余弦級数を教えてください。 また

f(x)=sin3x (0,π/6］のフーリエ正弦級数とフーリエ級数余弦級数を教えてください。
また、フーリエ展開とはなんですか？
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 0=<x<π/6ということです。

    補足日時：2024/11/20 13:47

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/26 15:23

フーリエ正弦級数展開は奇関数の周期関数に対して行うものです

フーリエ余弦級数展開は偶関数の周期関数に対して行うものです
問題は奇関数の周期関数でも偶関数の周期関数でもないので間違っています

f(x)=sin(3x)のフーリエ正弦級数はsin(3x)そのものです

問題を

f(x)=sin(3x) (0<x≦π/3) であって,f(x+π/3)=f(x)　とする
f(x)　のフーリエ級数展開を求めよ

とします

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/22 20:27

フーリエ級数展開は周期関数に対して行うものです

問題は周期関数ではないので間違っています

問題を

f(x)=sin(3x) (0<x≦π/6) であって,f(x+π/6)=f(x)　とする
f(x)　のフーリエ級数展開を求めよ

とします

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/21 11:59

訂正。

符号と係数が抜けた(^^;

a_n = -12/{π(48n^2 - 3)}
b_n = -48n/{π(48n^2 - 3)}

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/21 11:54

周期 π/6 ということで sin3x の先頭部がのこぎり状に

繰り返すということなら、
フーリエ級数展開の公式はこちら
https://manabitimes.jp/math/1156
単純に積分するだけなので
a_n = -1/(48n^2 - 3)
b_n = 4n/(48n^2 - 3)
三角関数の積和の公式を知っていれば瞬殺です。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/20 20:05

#2の方の通り

フーリエ級数展開は無限に続く周期関数に対して行うものです
なので
f(x)の周期を指定しなければいけません

f(x)=sin(3x)
の周期は(2π/3)です

f(x)=sin(3x)
のフーリエ級数展開は
sin(3x)
そのもので
フーリエ正弦級数部分はsin(3x)
フーリエ余弦級数部分は0
となります
定義域を
(0≦x<π/6)
としても
f(x)の周期を(2π/3)のまま変更しないのであれば
フーリエ級数展開は
sin(3x)
に変わりはありません
問題が間違っています

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/20 14:40

←No.2

そこは、
　f(x) = sin(3x), x∈(0,π/6］ を周期拡張して
　基本周期 π/6 - 0 のフーリエ級数に展開する
と忖度してあげてもバチはあたらないと思うよ。

ただし、
　フーリエ正弦級数やフーリエ余弦級数は
　普通のフーリエ級数展開の結果現れるもので、
　別の展開方法があるわけじゃあない
ということは、教えたげたほうがいいかと。

「フーリエ展開とはなんですか？」という段階の人が、
「フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数を教えてください。」
と聞いてることは、状況がかなり謎ではあるけど。


基本周期 T の「フーリエ級数」とは、
　(a_0)/2 + Σ[n=1→∞]{ (a_n) cos( (2π/T)(nx) ) + (b_n) sin( (2π/T)(nx) ) }
　ただし a_n, b_n はどれも定数
という形の級数のことをいい、
周期 T を持つ関数 f(x) と一致する上記の級数を見つけることを
「f(x) をフーリエ展開する」といいます。

ｆ(x) が偶関数の場合、f(x) のフーリエ級数は b_n が全て =0 になって
cos の項ばかりからなる級数になるため「フーリエ余弦級数」と、
ｆ(x) が奇関数の場合、f(x) のフーリエ級数は a_n が全て =0 になって
sin の項ばかりからなる級数になるため「フーリエ正弦級数」と呼ばれます。
どちらもフーリエ展開の結果であって、
ひとつの f(x) からフーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数が
両方作れるわけではありません。

フーリエ展開のやり方は、
a_n = (2/T) ∫[0,T] f(x) cos( (2π/T)(nx) ) dx,
b_n = (2/T) ∫[0,T] f(x) sin( (2π/T)(nx) ) dx
で、各 a_n, b_n を求めればよいです。
なぜそうなるのか？については、
ここに書くには紙面が狭すぎるので、成書を読んだほうがよいです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/20 14:24

ひょっとしてフーリエ級数展開とフーリエ変換がごっちゃになってる？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/20 12:38

問題は

n=[6x/π]
nπ/6<x≦(n+1)π/6 のとき
f(x)=sin{3(x-nπ/6)}

の
フーリエ級数展開を求めよ
ですか?

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/20 08:53

フーリエ級数展開って無限に続く周期関数に対して行うものだと思うけど

(0,π/6］って？

私の認識が間違っているのだろうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/19 22:09

f(x) をフーリエ級数展開した結果出てくる級数で

f(x) が奇関数のとき生じるものを「フーリエ正弦級数」、
f(x) が偶関数のとき生じるものを「フーリエ余弦級数」
と言います。
任意の f(x) をフーリエ正弦級数に展開でいたり、
フーリエ余弦級数に展開できたりするわけではありません。
例として、f(x) = sin(3x) は、奇関数ですから、
普通にフーリエ級数に展開すれば
フーリエ正弦級数が出てきます。それだけのことです。