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巡回置換と交代群について、以下質問させてください。

交代群の定義は置換の符号sgn:Sₙ→{±1}
による核Ker sgnと認識しています。
なので交代群に属する置換は置換の符号により1になる(偶置換)と分かります。

これとは別に交代群(A₂₀とします)の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されるという定理があると思うのですが、これが良く分からず、、
例えば長さ4の巡回置換(これは奇置換かつ長さ3の巡回置換では表せないですよね…??)として(1,2,3,4), (13,14,15,16)
∈S₂₀があった時、
(1,2,3,4), (13,14,15,16)∉A₂₀かと思うのですが、その合成(1,2,3,4)(13,14,15,16)
はsgn(1,2,3,4)(13,14,15,16)
=sgn(1,2,3,4)sgn(13,14,15,16)
=(-1)×(-1)=1なのでA₂₀の元になります。

どこか計算や認識間違っていますでしょうか?
ご教授いただけますと幸いです。

A 回答 (7件)

[5] で使った、置換が偶置換と奇置換に分けられることの証明もしとくかな。



多項式 F(x1,x2,...,xn) の変数に置換 σ を施したものを σF と書くことにします。
任意の多項式 F と任意の置換 σ1, σ2 について、(σ2 σ1)F = σ2(σ1 F) が成り立ちます。
F としてn項の差積 D = Π[i<j] (xi - xj) を、σ として互換を採用すると σD = -D です。
[1] に示したように、任意の置換は互換の積で表せるので、
そこに現れる互換の個数を m 個とすると σD = (-1)^m D になります。
σD が D なのか -D なのかが一貫するためには、m の偶奇は一定でないといけませんね。
その (-1)^m を sgn σ と定義するのです。
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この回答へのお礼

ありがとう

皆様ご回答ありがとうございましたm(_ _)m
一番丁寧かつわかりやすかったありものがたりさんをBAにさせて頂きます!
大変助かりました!

お礼日時:2025/06/29 20:36

4項以上の任意の置換が3-巡回置換の積で表せることを示してみましょう。



[1]
その前提として、任意の置換は互換(2-巡回置換)の積で表せます。
n項の置換 σ を互換の積で表すには、以下のようにすればよいです。
σ(n) ≠ n であれば、σ(n) = i < n となる i があります。
{ 1,2,...,n } のn項列 1,2,...,n に互換(n,i) を施すと、
末尾が ...,σ(n) であるn項列が得られます。
σ(n) = n の場合は、このステップは行わなくてよい。
次にn項列の第n-1項に注目して、同様に
σ(n-1) = j < n-1 となる j について互換(n-1,j) を施すと、
末尾が ...,σ(n-1),σ(n) であるn項列が得られます。
同様に繰り返して σ(2) を互換するところまで行えば、互換の合成によって
n項列 1,2,...,n が σ(1),σ(2),...,σ(n) へ置換されます。

[2]
ところで、4項列 A,B,C,D に3-巡回置換(1,2,3) を施すと4項列 B,C,A,D が得られます。
これに更に3-巡回置換(2,3,4) を施せば4項列 B,A,D,C になります。
これは、互換(A,B) と互換(C,D) を重ねて施したのと同じ置換ですね?
A,B,C,D は 1,2,...,n の中から任意の異なる4個を選ぶことができるので、こうして、
3-巡回置換を2回使って互換2個の組を表すことができたことになります。

[3]
n ≧ 4 のとき、この互換2個の組を2回以内で
n項組の末尾2項を { σ(n-1),σ(n) } にすることができます。
まず、σ(n) ≠ n ならば互換 (n,σ(n)) と
何か適当な 1 ≦ i < j < n の互換 (i,j) を組にしたものを[2]によって施し、
次に、σ(n-1) ≠ n-1 ならば互換 (n-1,σ(n-1)) と
何か適当な 1 ≦ i < j < n-1 の互換 (i,j) を組にしたものを[2]によって施せばよい。

[4]
[3]が済んだ時点で、n項列 1,2,...,n はn項列 ...,σ(n-1),σ(n) へ置換されています。
この後、[1]に基づいて第1項〜第n-2項を σ(1),σ(2),...,σ(n-2) へ置換するにあたって、
[2]の互換2個の組を使って、第1項〜第n-2項の範囲の互換と互換(σ(n-1),σ(n))をセットで
行うようにすれば、第1項〜第n-2項が σ(1),σ(2),...,σ(n-2) になった時点で
n項組は σ(1),σ(2),...,σ(n-2),σ(n-1),σ(n) か σ(1),σ(2),...,σ(n-2),σ(n),σ(n-1) か
のどちらかへ置換されています。

[5]
3-巡回置換は、互換2個を使って (1,2,3) = (3,2)(1,2) のように表せますから、
n項組 1,2,...,n を σ(1),σ(2),...,σ(n-2),σ(n-1),σ(n) または σ(1),σ(2),...,σ(n-2),σ(n),σ(n-1)
へ置換した操作は偶数個の互換の積で表されています。
σ(1),σ(2),...,σ(n-2),σ(n),σ(n-1) に更に互換(σ(n-1),σ(n)) を施して
σ(1),σ(2),...,σ(n-2),σ(n-1),σ(n) になる場合には、σ は奇数個の互換の積で表されたことになります。
よって、σ が偶置換の場合には、[4]が済んだ時点で
n項組は σ(1),σ(2),...,σ(n-2),σ(n-1),σ(n) になっていたことが判ります。
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#1間違えました訂正です



交代群の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されます

(1,2,3,4)(13,14,15,16)=(1,2,3)(3,4,13)(4,13,14)(14,15,16)

左辺は交代群の元
右辺は長さ3の巡回置換です

(1,2)(3,4)=(1,2,3)(2,3,4)

左辺は交代群の元
右辺は長さ3の巡回置換です
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(1, 2, 3, 4)が長さ3の巡回群の積で表せない


(13, 14, 15, 16)が長さ3の巡回群の積で表せない
事は正しいけれども、この事から
「(1, 2, 3, 4)(13, 14, 15. 16) が長さ3の巡回群の積で表せない」事は導出できないし、実際表す事ができます。

具体的に考えれば見つけられるような物だと思いますが、もしも見つけられないのであれば、(1 2 13)のような1〜4と13〜16をごちゃ混ぜにする巡回置換を無意識に除外している可能性が高そうかな。
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「長さ3の巡回置換では表せない」2つの巡回置換があったとして, それらの積が「長さ3の巡回置換では表せない」という保証はどこにある

のでしょうか?
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何も間違っていないが、何が疑問なのかサッパリ判らない。


交代群の元が偶置換だというのは、合ってる。
交代群の元が長さ3の巡回置換の積で表せるというのも、合ってる。
長さ4の巡回置換が長さ3の巡回置換の積で表せないというのも、合ってる。
(1,2,3,4)と(13,14,15,16)が奇置換で
積(1,2,3,4)(13,14,15,16)が偶置換だというのも、合ってる。
どこにも矛盾は無い。
ただ、奇置換と奇置換の積が偶置換になっただけで、アタリマエの話だ。
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3次交代群の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されるけれども



4次(以上の)交代群の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されません

(1,2)(3,4)

は4次交代群の元だけれども長さ3の巡回置換ではありません
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