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ありがちな問題なのですが、

金塊が12個あるがそのうち1個が偽物である。
上皿天秤を3回使ってどれが偽物かを判定したい。
ただし偽物が軽いか重いかはわからないものとする。

です。重いか軽いかわからないところで、私は「解なし」を答えにしたのですが、
解があればもちろん知りたいですし、なければないことを証明できないものでしょうか。
よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

ありがちな問題ですが,この問題とその拡張に関しましては


http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=30706
が決定版と思います.
stomachman さんの業績が大きい.
私も多少寄与しています.
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この回答へのお礼

URL見てみました。
はっきり言ってすごいですね。
離散数学とか、計算量理論などを思い出してしまいました。
時間を見つけてじっくり分析してみます。

お礼日時:2001/10/14 23:43

まず金塊にa,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,lと名前をつけます。


で、状態0から始めて以下の手順で天秤を使えば偽物が分かります。
----------------------------------------------
状態0:
天秤を使った回数0
偽物候補=
aで軽い,aで重い,bで軽い,bで重い,cで軽い,cで重い,
dで軽い,dで重い,eで軽い,eで重い,fで軽い,fで重い,
gで軽い,gで重い,hで軽い,hで重い,iで軽い,iで重い,
jで軽い,jで重い,kで軽い,kで重い,lで軽い,lで重い

(a,b,c,d)と(e,f,g,h) を比べる。
a,b,c,dが重い:状態1へ
e,f,g,hが重い:a,b,c,dとe,f,g,hの名前をそれぞれ入れ換えて状態1へ
吊合う:状態2へ
------------------------------------------------------
状態1:
天秤を使った回数1
偽物候補=
aで重い、bで重い、cで重い、dで重い
eで軽い、fで軽い、gで軽い、hで軽い

(a,b,e)と(c,d,f)を比べる
a,b,eが重い:状態3へ
c,d,fが重い:a,b,eとc,d,fの名前を入れ換えて状態3へ
吊合う:状態4へ
-------------------------------------------------
状態2:
天秤を使った回数1
偽物候補=
iで軽い,iで重い,jで軽い,jで重い,
kで軽い,kで重い,lで軽い,lで重い

(i)と(j)を比べる
iが重い:状態5へ
jが重い:iとjの名前を入れ換えて状態5へ
吊合う:状態6へ
------------------------------------------------------
状態3:
天秤を使った回数2
偽物候補=
aで重い、bで重い、fで軽い

(a)と(b)を比べる
aが重い:aが偽物
bが重い:bが偽物
吊合う:fが偽物
------------------------------------------------------
状態4:
天秤を使った回数2
偽物候補=
gで軽い、hで軽い

(g)と本物を比べる
gが重い:あり得ない
本物が重い:gが偽物
吊合う:hが偽物
-------------------------------------------------------
状態5:
天秤を使った回数2
偽物候補=
iで重い、jで軽い

(i)と本物を比べる
iが重い:iが偽物
本物が重い:あり得ない
吊合う:jが偽物
------------------------------------------------------
状態6:
天秤を使った回数2
偽物候補=
kで軽い,kで重い,lで軽い,lで重い

(k)と本物を比べる
kが重い:kが偽物
本物が重い:kが偽物
吊合う:lが偽物
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
体系的に、そしてシステマチックに解くことができるとわかりすっきりしました。

ポイントは、勝手ながら今回書いて下さった量と個人的なわかりやすさで決めさせていただきます。

お礼日時:2001/10/14 23:47

「ありがちな問題」ですので、過去の解答をご参考に。



参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=89620
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
検索するべきでした。

お礼日時:2001/10/14 23:47

この問題には、ちゃんと解があります。

ポイントは12個の金塊の載せ方と1~3回目の結果を総合的に判定することです。
説明がしやすいように12個の金塊に1~12まで番号をつけます。

1回目:左側に1~4、右側に5~8を載せます。
つりあった時の2回目:左側に8と9、右側に10と11を載せます。---------------------(a)
つりあわなかった時の2回目:左側に1と2と5、右側に3と4と6を載せます。------------(b)

(a)で2回目もつりあった時には、1~11は同じ重さであるから、左側に11、右側に12を載せれば、12が重いか軽いかがわかります。
(a)で2回目がつりあわなかった時には、左側に10、右側に11を載せます。これがつりあえば、1~8、10~11(12も)が同じ重さであり、2回目の天秤の傾き方で9が重いか軽いかがわかります。10と11がつりあわなかった時には、2回目の結果と合わせれば、10と11のどちらが重いか(または軽いか)が判定できます。

(b)で2回目がつりあった時には、左側に7、右側に8を載せれば、1回目の天秤の傾き方と合わせれば、7と8のどちらが重いか(または軽いか)が判定できます。
(b)で2回目がつりあわなかった時には、1回目と2回目の天秤の傾き方が同じ時は、左側に1、右側に2を載せます。1と2がつりあえば、1,2回目の結果から6が重い(または軽い)ことがわかり、つりあわなければ、1~3回目の傾き方から1または2が重い(または軽い)ことがわかります。
1回目と2回目の傾き方が逆の時は、左側に3、右側に4を載せます。3と4がつりあえば、1,2回目の結果から5が重い(または軽い)ことがわかり、つりあわなければ、1~3回目の傾き方から3または4が重い(または軽い)ことがわかります。

1~3回目、それぞれについて、つりあう場合、左側が下がる場合、右側が下がる場合に分けて回答すれば、わかりやすいかと思いますが、かなりの長文になりますので、このくらいで失礼いたします。もし、わからないような時は補足をお願いします。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
非常に説得される回答です。

しかし、これを中学生に宿題で出すとは...(私は大学生ですが)

お礼日時:2001/10/14 23:53

 以下のURLを参考にしてみては。


http://web2.incl.ne.jp/yaoki/nise_nn.htm
ページの一番下にある【寄せられた解答】から飛んでみてください。

参考URL:http://web2.incl.ne.jp/yaoki/nise_nn.htm
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
色々な人が取り組んでいるのですね。
ひょっとして有名問題だったのでしょうか

お礼日時:2001/10/14 23:49

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