組み合わせの範囲になると思うんですが・・・
 (1)1~999の整数の中で、各位の和が7となるものの個数を求めよ。
 (2)1~999の整数の中で、各位の和が7の倍数となるものの個数を求めよ。

 (1))は9C2=36として解けたんですが、(2))が分かりません。
 
 どなたかお助け下さい・・・。

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A 回答 (6件)

無理矢理やります。


7のときは(1)の通り36通りでOKです。
4*3+4*6=36
14のときは
059,068,077,149,158,167,239,248,257,266,338,347,356,446,455の組合せで(同じ数字があるものは3通りでその他が6通り)75通り
5*3+10*6=75
21のときは
399,489,579,588,669,678,777の組合せで(同じ数字があるものは3通りでその他が6通り、777は1通り)28通り
6*3+3*3+1=28
よって
36+75+28=139通りとなります。
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その考え方を進めると



14の場合、
取り敢えず同じに考えて、16C2 = 120 通り。
しかしこの中にはおっしゃる通り10、11、12、13、14 という場合も数えてしまっています。
そのような場合を取り除けばいいのですから、たとえば10が含まれる場合は残りの4
を2つに分けて10をどこかに入れればいいのですから、
場合の数は、5C1 * 3 通り。
以下11、12、13、14 まで考えるとそれぞれ4C1*3、3C1*3、2C1*3、1C1*3。
よって120-(5+4+3+2+1)*3 = 75。

21の場合、同様に 23C2 = 253
10、・・・・、21が含まれている。
10の時、12C1*3。
以下、11、12、・・・・、21まで考えると14の時と同様に、
(12+11+10+・・・・+2+1)*3 = 234
ただし、ここで、10、10、1という数の組合せと
11、10、0という数の組合せがダブって数えている事になるので
これを差し引かねばならない。
前者は3通り、後者は3!=6通り
よって 253-234+3+6 = 28

結局、36+75+28=139 通り。

あまり自信はありませんが・・・。
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#3 です。


2で割ってなかった。

136とおり
(あやしいことには、かわりない)
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#1 #2 と補足を見ました。


ふむふむ、なるほろ、
和がsとしたら、
(s+1)C2 とおりなんですね。
でも、数字が10以上は、禁止。
つまり s>10の時だけは、(((s-10)+1)C2)x3 が禁止パターン。
(あやしい)

(7+1)C2
+ (14+1)C2 - (((14-10)+1)C2)x3
+ (21+1)C2 - (((21-10)+1)C2)x3
= 56 + (210-20x3) + (462-132x3)
= 56 + 150 + 66
= 272 とおり

(ますます、あやしい)
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999までならば、各位の合計は最大でも9+9+9=27なので


7の倍数は7と14と21じゃないでしょうか。
そうすると、(1)と同様にやって合計すれば解けると思います。
それでもわからなければ、また聞いてください。

この回答への補足

 “(1)と同様に・・・”と仰られたんですが、僕の(1)の解法は・・・

解〕求める個数は、7つのボール(何でもいいけど)を異なる3つの組に分ける個数と同数であるから、7つのボールと2つの仕切りを考えて、9C2=36 〔答

 とやりました。

 ところが、これを(2)にも適用しようとすると、14,21を求める時に、“どの位も9以下である”という条件が入ってきてうまくいきません。

 恐らく(1)の解法からして出題者の意図からハズれているような気がするんですが・・・。

補足日時:2001/10/29 00:23
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(2)は1~999の中で和の範囲は1~27ですから


この中で7の倍数は7,14,21,28の4つ。

7の時は36と(1)で出ていますので
その容量で
14,21,28の個数を求めてください。
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[補足]
定理0’「整数 a,b,c において,ab がc の倍数かつa とc が互いに素ならば,bはcの倍数」
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