組み合わせ。

　組み合わせの範囲になると思うんですが・・・
　(1)１～９９９の整数の中で、各位の和が７となるものの個数を求めよ。
　(2)１～９９９の整数の中で、各位の和が７の倍数となるものの個数を求めよ。

　(1)）は9Ｃ2＝３６として解けたんですが、(2)）が分かりません。
　
　どなたかお助け下さい・・・。

No.6 回答者： ADEMU 回答日時： 2001/10/29 13:01

無理矢理やります。

７のときは（１）の通り３６通りでＯＫです。
４＊３＋４＊６＝３６
１４のときは
０５９，０６８，０７７，１４９，１５８，１６７，２３９，２４８，２５７，２６６，３３８，３４７，３５６，４４６，４５５の組合せで（同じ数字があるものは３通りでその他が６通り）７５通り
５＊３＋１０＊６＝７５
２１のときは
３９９，４８９，５７９，５８８，６６９，６７８，７７７の組合せで（同じ数字があるものは３通りでその他が６通り、７７７は１通り）２８通り
６＊３＋３＊３＋１＝２８
よって
３６＋７５＋２８＝１３９通りとなります。

No.5 回答者： seian 回答日時： 2001/10/29 11:26

その考え方を進めると

14の場合、
取り敢えず同じに考えて、16C2 = 120 通り。
しかしこの中にはおっしゃる通り10、11、12、13、14 という場合も数えてしまっています。
そのような場合を取り除けばいいのですから、たとえば10が含まれる場合は残りの4
を2つに分けて10をどこかに入れればいいのですから、
場合の数は、5C1 * 3 通り。
以下11、12、13、14 まで考えるとそれぞれ4C1*3、3C1*3、2C1*3、1C1*3。
よって120－(5+4+3+2+1)*3 = 75。

21の場合、同様に 23C2 = 253
10、・・・・、21が含まれている。
10の時、12C1*3。
以下、11、12、・・・・、21まで考えると14の時と同様に、
(12+11+10+・・・・+2+1)*3 = 234
ただし、ここで、10、10、1という数の組合せと
11、10、0という数の組合せがダブって数えている事になるので
これを差し引かねばならない。
前者は3通り、後者は3!=6通り
よって 253-234+3+6 = 28

結局、36+75+28=139 通り。

あまり自信はありませんが・・・。

No.4 回答者： ykkw_2001 回答日時： 2001/10/29 02:42

#3 です。

２で割ってなかった。

136とおり
（あやしいことには、かわりない）

No.3 回答者： ykkw_2001 回答日時： 2001/10/29 02:21

#1 #2 と補足を見ました。

ふむふむ、なるほろ、
和がsとしたら、
（s+1）Ｃ2 とおりなんですね。
でも、数字が１０以上は、禁止。
つまり　s>10の時だけは、（（(s-10)+1)Ｃ2）ｘ３　が禁止パターン。
（あやしい）

(7+1)C2
+ (14+1)C2 - (((14-10)+1)C2)x3
+ (21+1)C2 - (((21-10)+1)C2)x3
= 56 + (210-20x3) + (462-132x3)
= 56 + 150 + 66
= 272 とおり

（ますます、あやしい）

No.2 回答者： ezokagura 回答日時： 2001/10/29 00:09

９９９までならば、各位の合計は最大でも９＋９＋９＝２７なので

７の倍数は７と１４と２１じゃないでしょうか。
そうすると、(1)と同様にやって合計すれば解けると思います。
それでもわからなければ、また聞いてください。

この回答への補足

　“（１）と同様に・・・”と仰られたんですが、僕の（１）の解法は・・・

解〕求める個数は、７つのボール（何でもいいけど）を異なる３つの組に分ける個数と同数であるから、７つのボールと２つの仕切りを考えて、9Ｃ2＝３６　〔答

　とやりました。

　ところが、これを（２）にも適用しようとすると、１４，２１を求める時に、“どの位も９以下である”という条件が入ってきてうまくいきません。

　恐らく（１）の解法からして出題者の意図からハズれているような気がするんですが・・・。

補足日時：2001/10/29 00:23

No.1 回答者： million-show 回答日時： 2001/10/28 23:51

（２）は１～９９９の中で和の範囲は１～２７ですから

この中で７の倍数は７，１４，２１，２８の４つ。

７の時は３６と（１）で出ていますので
その容量で
１４，２１，２８の個数を求めてください。