収束について

このあいだの質問の続きのようなのですが・・・
円周率を求めるときに、「収束が遅いから・・・」と“収束”という言葉がよく出てくるのですが、この場合の“収束”とは、極限などで出てくる“収束”と同じなのですか？また、何に収束することを言っているのですか？

関連URL:http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?qid=158544

No.1 回答者： highpower 回答日時： 2001/10/29 00:24

円周率を無限級数で表した場合に、少ない項数の和で真値に近い近似値が得られる場合に「収束が速い」、沢山の項数の和を求めてもなかなか真値に近い値が得られない場合に「収束が遅い」と言います。

この場合は「真値」に対する収束のことを言っています。

No.2 回答者： keros66 回答日時： 2001/10/30 18:55

「収束」は極限などに出てくる収束と同じで、極限値、または真値に収束することを意味します。

円周率は厳密に定義することはできますが、無理数ですから、分数や小数で正確に表すことはできません。一般にこの種の数値の近似値を計算する手法（アルゴリズム）としては、級数展開や、反復法などがあります。級数展開であれば、無限級数（項の個数が無限にある級数）になり、値の大きい項から順に計算して和をとることになりますが、使用した項に数の割に、その部分和と真値の差（誤差）が小さければ「収束が早い」と表現します。その逆が、「収束が遅い」ということになります。反復法の場合には反復回数の割に誤差の小さくなるなり方が少ないとき、「収束が遅い」と表現します。

No.3 回答者： brogie 回答日時： 2001/10/31 00:44

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?qid=158544で
回答したbrogieです。収束はみなさんが回答されている通りです。
説明不足で混乱を招いたようです。お詫びします。

＞π/4＝1ー1/3＋1/5ー1/7＋・・・
＞これから、πを求めることができます。
＞しかし、これでは収束が遅いから沢山取らなくてはなりません。

正確には、収束が遅いから、項数を沢山取らなくてはないません。ということでしょうか。

実際、計算して見ましょう。
収束の遅い展開式は項数を１０個取っても
4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19)＝3.041839619
で、πの値に、1桁しか合っていませんが、

収束の早い方は項数を４個取ると
16*(1/5-1/(3*5^3))-4*(1/239-1/(3*239^3))＝3.140597029
となり、πの値に、3桁まで合っています。
項数を6個取ると3.141621029となります。

以上です。