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慶応義塾志木の過去問なのですが、私は数学が苦手で、どうしても解けませんでした。どなたか数学がお得意な方に教えていただければ幸いです。

A地点にいる8人が20km離れたB地点に行くのに、5人のりの車が1台しかない。そこで5人が車で、3人がかけ足で同時に出発した。B地点の手前xkmのところで車に乗っていた4人は降り、かけ足でB地点に向かった。1人は車を運転して引き返し、走ってくる3人を拾って、再びB地点に向かった。B地点に到着したのは8人同時であった。車の時速を80km、かけ足の時速を12km、乗り降りに要する時間は考えないものとして、xの値を求めよ。

よろしくお願い致します。

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A 回答 (4件)

算数ならば。

。。

車が出発してから折り返して出会うまでに走った道のり:出会うまで駆け足で走った道のり=80:12

はじめ車に乗っていた人が降りてから走る道のりと、はじめ走っていた人が車に乗るまでに走った距離は同じ。(ダイヤグラムで平行四辺形がかけますから)
この道のり(実はxのこと)を(12)とすると、はじめ車に乗っていた人をおろすまでに走った道のりは( (80)+(12) )÷2 = (46) であることがわかると思います。

つまり車に乗って走る道のり:走る道のり=46:12

よって、x=20km * (12)/(58) = 120/29 km
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この回答へのお礼

こんなに簡単な方法があるなんて…!とても解りやすい解説をありがとうございます。今度からこのような問題が出題されても、うまく解くことができそうです。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/08 17:28

このような問題を解くときは、ダイヤグラムを書くと視覚的に理解できるようになります。


平行の直線を二本引きます。一本は出発点でLa、もう一本は到着点でLbとします。
この二本の線の間に、さらに二本平行線を引きます。
Lbに近い線は車が引き返す地点でLc、Laに近い線は引き返した車が3人を拾う地点でLdとします。(LbとLcの距離がx、LcとLaの距離が20-xになります)

これらの直線は左から右に向かって時間の進む方向とします。

Aから急な角度(θ1)で直線をLcに向かって引き、交点をCとします。ここは車が引き返す場所と時間をあらわします。
Cから同じ角度で(光が反射するように)Ldに向かい、この交点をDとします。ここは3人を拾う場所と時間を示します。

Cから緩やかな角度(θ2)でLbに線を引きます。この線とLbの交点がBになります。
(tanθ1:tanθ2=80:12)

車のスピードと人が走るスピードは一定ですから、直線ACとDB、直線ADとCBは平行になります。
したがって、四辺形ACBDは平行四辺形になります。
このことから、直線LaとLdの距離はLbとLcの距離と同じxです。LcとLdの距離は(20-2x)となります。

ここで車がAからCを経てDに至る時間はLaとLcの距離(20-x)と、LcとLdの距離(20-2x)を足したものを80で割って計算できます。この時間は人が、AからDにいく時間x/12に等しくなります。

したがって方程式は、{(20-x)+(20-2x)}/80=x/12
これを解くとx=120/29となります。

複雑なようですが、実際に図を書くとわかりやすいと思います。
視覚的に理解できれば、連立方程式は必要ありません。
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この回答へのお礼

お礼が遅れてしまってすいませんでした。
ダイヤグラムをかけばよかったんですね!!まず私は基本的なことからなっていないようでした。驚くほど簡単に解くことができ、びっくりしました!
ご親切、感謝しています。
ご丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/08 17:26

スタートを時刻0として4人が降りる時刻をa、


3人を拾う時刻をb、
全員が到着する時刻をcとすると、
4人は時速80[km/h]でa時間、12[km/h]で(c-a)時間走ったので

80a+12(c-a)=20 ---(1)

3人は時速12[km/h]でb時間、80[km/h]で(c-b)時間走ったので

12b+80(c-b)=20 ---(2)

車はずっと80[km/h]で時刻aまでは正の向き、時刻aからbまでは負の向き、bからcまではまた正の向きに走ったので

80a-80(b-a)+80(c-b)=20 ---(3)

これで3つの未知数に対して3つの式が出来たのであとはこれを解けばOK。
最終目的のxは4人が車を降りて走った距離なので

x=12(c-a)

問題の設定が間違っていません?
連立方程式を解くのにやたらと分数が出てきてしまいます。
因みに a=23/116、b=10/29、c=63/116
x=120/29
何か変だと思って検算をするかどうか迷っていたのですが
hide--さんが答えを出されていたので見た所どうもこれで良いようです。
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この回答へのお礼

お礼が遅れてしまって申し訳ありません。問題はそれであっているようでした。
私がまとめた式とはまったく違い、とてもわかりやすいです。もう一度やり直したところ、やはり簡単に解けました。本当に感謝しています。
ご丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/08 17:24

こんばんは。


後で走った3人が走った距離xkmにかかった時間はx/12(時間)ですね。
車が引き返した距離をy(km)とすると、車は3人を下ろした以降、
x+2y(km)走っています。これにかかった時間が(x+2y)/80(時間)です。
同時に到着したのであれば=x/12(時間)なのですから、これを計算して、
y=17x/6になります。

次に、最初走った4人が走った距離は(20-x-y)kmですから、かかった時間は(20-x-y)/12(時間)です。
その間に車が走った距離は(20-x+y)kmですから、かかった時間は(20ーx+y)/80(時間)です。これが等しいわけなので、y=17x/6を代入し、これを計算すると、x=120/29km≒4.138kmとなります。
もしかすると計算は間違えているかも~
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この回答へのお礼

ご丁寧な解説ありがとうございます。
そのように私も自分でやってみたところ、簡単に解けました!とてもわかりやすかったです。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/08 17:18

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