ナイキストの定理ってなんですか?

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A 回答 (2件)

抵抗値Rの抵抗体が温度Tの熱浴に接しているとき、抵抗の両端に熱的なゆらぎ電圧(熱雑音)が発生します。

このゆらぎのパワースペクトルS(ω)は、
S(ω)=4kTR  (kはボルツマン定数)
と表され、周波数によらない白色雑音になります。上式をナイキストの定理と呼びます。
僕は物理実験でこのように学びました。
ナイキストの定理は(熱)統計物理学の分野では雑音関係に入り、上で書いたような内容をそう呼ぶようです。しかし、情報理論やデジタル計測における標本化定理(サンプリング定理)の事をナイキストの定理と呼ぶこともあり、この場合は#1の方がかかれた内容で正しいと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!
また,よろしくお願いします.

お礼日時:-0001/11/30 00:00

 標本化定理のことでしょうか? 以下に標本化定理について書きますので、違う場合はお読み捨てください。


 「W[Hz]に帯域制限された信号は、1/2W[sec]以下の時間間隔で標本化すれば、情報を失うことなく完全な離散化ができる。」ということです。上記1/2Wの時間間隔をナイキスト間隔、2Wをナイキスト周波数といいます。また、標本化定理は、定理を導いた研究者の名をとってシャノンの定理(あるいはシャノン・染谷の定理)とも呼ばれます。
 連続的な信号をデジタル信号にするときに、上記定理を守ってサンプリングすれば元の信号を完全に再現できるわけで、情報理論上だけでなく実用上も非常に重要な定理です。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました!
大変参考になりました.
またこのような質問をするかもしれないので,その時もぜひよろしくお願いします!!

お礼日時:-0001/11/30 00:00

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Qネーターの定理ってなんですか?

高校物理の範囲でもわかる感じに、あまり深くなくてかまわないので、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

標準的カリキュラムでしたら,ネーターの定理は大学の物理系の2年位の
解析力学でやる内容です.
高校物理の範囲で,というのはなかなか難しいことをご承知ください.

oshiete_goo さんが
> 「ネーターの定理」とは, 対称性と保存則に関する定理で, 簡単に言えば,
> 対称性と保存則が非常に密接に結びついていることを表した定理です.
と書かれているとおりです.
ある量が時間変化しないことを,その量が保存されると言います.
ただし,不変性というのが何の不変性かが問題で,
ラグランジアンと呼ばれる量の不変性を指しているところがやっかいなところです.

例えば,自由粒子(何も力がかかっていない)ですと,
エネルギーも運動量も角運動量も時間変化しません(保存されます).

今度は自由落下を考えてみましょう

          
  ┬x=0    ∧  
  │       │ 
  │       ε  
  │       │  
  │       ∨   ┬ x'=0
  │           │
  │  ●        │  ●
  │  │        │  │
  │  │mg      │  │ mg
  │  ∨        │  ∨
  │           │  
  │           │  
  ∨           ∨
  x           x'

右図と左図は座標をεずらしただけです.

手を離してから時間が経過するに従って落下速度は増加していきますから
当然運動量も増加し,運動量は保存されません.
運動方程式 F = ma (F:力,a:加速度)で見ると,
(1)  F=mg (座標によらない),
(2)  a = d^2 x/dt^2 = d^2 x'/dt^2 (微分したら,座標の平行移動分は消えてしまう)
ですから,運動方程式はどちらの座標形で書いても同形の
(3)  d^2 x /dt^2 = g  (or d^2 x' / dt^2 = g)
です.
oshiete_goo さんの言われるように
> 空間内の並進運動に対する時空の不変性(並進対称性)<--> 運動量保存則
ですが,上の話ですと
○ 並進に対して運動方程式が不変
○ 運動量は保存しない
になっています.
つまり,運動方程式が不変かどうかで判断してはいけないのです.
不変かどうかを調べるべき量は,
oshiete_goo さんも書かれているとおりラグランジアンなのですが,
ここらへんがちょっと難しいところです.

ラグランジアンは,単純な系の場合には
(4)  (運動エネルギー) - (ポテンシャルエネルギー)
と思ってよいのですが,詳しい説明は高校物理の範囲をはるかに越えます.

標準的カリキュラムでしたら,ネーターの定理は大学の物理系の2年位の
解析力学でやる内容です.
高校物理の範囲で,というのはなかなか難しいことをご承知ください.

oshiete_goo さんが
> 「ネーターの定理」とは, 対称性と保存則に関する定理で, 簡単に言えば,
> 対称性と保存則が非常に密接に結びついていることを表した定理です.
と書かれているとおりです.
ある量が時間変化しないことを,その量が保存されると言います.
ただし,不変性というのが何の不変性かが問題で,
ラグランジアンと...続きを読む

Qネーターの定理ってなんですか2

ネーターの定理ってなんですか?
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=304503

で、siegmund さんはじめ、皆さんが書いた解答が
とても勉強になったのですが、
ちょっと根本的に分からないことがあります。

例えば、siegmund さんの図の例だと
エネルギー E=1/2 m v[t]^2 + m g (- x[t]) は
保存されますよね。

ここで、
ラグランジアン L=1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
だと思うのですが、

oshiete_goo さんの

| 時間方向の並進運動に関する時空の不変性(時間方向の並進対称性)
| <--> エネルギー保存則

siegmund さんの

| 不変かどうかを調べるべき量は,
| oshiete_goo さんも書かれているとおりラグランジアンなのですが,

から考えたのですが、
時刻が t から t' に変化すると、
L は不変ではないように見えます。

私は何を勘違いしているのでしょうか・・・?

すみませんがよろしくおねがいします。

ネーターの定理ってなんですか?
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=304503

で、siegmund さんはじめ、皆さんが書いた解答が
とても勉強になったのですが、
ちょっと根本的に分からないことがあります。

例えば、siegmund さんの図の例だと
エネルギー E=1/2 m v[t]^2 + m g (- x[t]) は
保存されますよね。

ここで、
ラグランジアン L=1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
だと思うのですが、

oshiete_goo さんの

| 時間方向の並進運動に関する時空の不変性(時間方向の並進対称性)
...続きを読む

Aベストアンサー

siegmund です.

physicist_naka さんのおっしゃるとおりです.
多少,補足させていただきます.

> ラグランジアンは、一般化された座標、
> その時間微分、時間という変数(これらは全部独立変数)で書かれますね。
のあたりが微妙なところです.

ここでの話は,ラグランジアンを
(1)  L(x,v,t)   v=dx/dt
と3変数の関数と見たとき,t の変化に対してラグランジアンが
不変かどうかということです.
x,v は運動方程式をといた後では t の関数ですが,x や v を通じて
入ってくる t 依存性はここの話では考えません.
微分記号で言えば,dL/dt を問題にするのではなく,∂L/∂t を問題にするのです.
別の言い方が,時間を陽に含むかどうか,です.

今の例の
(2)  L=(1/2) m v^2 - m g (-x)
には t は陽に含まれていませんから,t をずらしても L は当然不変です.
実は,エネルギーの時間変化は
(3)  dE/dt = -∂L/∂t
であることを示すことができ,これから,
∂L/∂t=0 なら(t は陽に含まれていなければ), E が保存されることになります.

E が保存されない典型例は摩擦のある系で,今の自由落下に速度に比例する摩擦項
を加えると,ラグランジアンは
(4)  L = exp(γt/m){(1/2) m v^2 - m g (-x)}
になります.
これからオイラー・ラグランジュ方程式を作ると,速度に比例した摩擦力が働く
運動方程式が得られます.
(4)ですと,陽な t 依存性が L にありますので,エネルギーは保存しません.
これは,摩擦でエネルギーが失われるということに対応しています.

siegmund です.

physicist_naka さんのおっしゃるとおりです.
多少,補足させていただきます.

> ラグランジアンは、一般化された座標、
> その時間微分、時間という変数(これらは全部独立変数)で書かれますね。
のあたりが微妙なところです.

ここでの話は,ラグランジアンを
(1)  L(x,v,t)   v=dx/dt
と3変数の関数と見たとき,t の変化に対してラグランジアンが
不変かどうかということです.
x,v は運動方程式をといた後では t の関数ですが,x や v を通じて
入ってくる t 依存...続きを読む

Q高周波増幅器の雑音指数とナイキストの定理

増幅器の雑音指数(NF, noise figure)についてなのですが、
熱雑音を与えるナイキストの定理では、δV^2∝Tで温度に比例
しますし、ショットノイズは、温度に無関係です。
ですから、室温付近では増幅器の雑音は、温度によらずほぼ
一定のような気がします。

しかし、実際には、室温付近で、数十度程度温度を変えた
だけで、かなり(~1dB程度)、雑音指数が変化します。
さらに、素子によっては、温度を上げた方がNFが小さかったりします。
これはどういうことなのでしょうか。

P.S.
もし、数十度下げてNFが改善するならば、今使っている測定用プリアンプに
CPU用のペルチェ素子をかましてみようかと思っているところです。

Aベストアンサー

こういう話はあんまり自信がないですが,
抵抗がRのとき,ナイキストの式はδV^2∝RT ですね.

普通の導体では,温度が0℃から 100℃になると R は 1.5倍位になります.
それで説明可能でしょうか?

また,半導体では温度が上がると R は減少します.
温度を上げた方がNFが小さかったりするのは,半導体素子でしょうか?

今のところ,これくらいしか思いつきません.

温度を下げて熱雑音を押さえるというのはかなりポピュラーな方法のようです.

Q電磁気以外のガウスの定理、ストークスの定理の使い道

お世話になります。

ベクトル解析で習うガウスの定理とストークスの定理について、
電磁気分野以外で活用できる例がありましたら
教えていただけませんでしょうか。

どちらか一方でも結構です。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ガウスの定理とストークスの定理はベクトル場の微分としてのrotやdivに対する逆演算としての積分に関する基本定理で、ベクトル場のあるところに個の定理は必ず現れると思っていいのではないでしょうか。ベクトル場は要するに連続体の挙動を記述すrのに用いられます。従って、流体、固体、確率密度場としての量子力学、電磁気、音場、弾性波場(個体の中の応力場の波動、せん断があることで音場より複雑)等々、なににでも出てきます。

もともとガウスの定理とストークスの定理は流体力学で用いられ始めたものです。ストークスは流体力学の基礎を築いた人です。流体力学の基本方程式である、ナビェ=ストークスの運動方程式(運動量保存則)、連続の式(質量保存則)、エネルギーの式(エネルギー保存則)は多くの場合、微分形式で書かれますが、これらをある曲面で囲まれた体積の中で積分する場合、またはその局面上で積分する場合にガウスの定理とストークスの定理が必要になります。

テンソル場でもガウスの定理とストークスの定理は定式化されており、これを使いこなせば随分格好いい議論が展開できます。

Qナイキストについて

ある参考書で、一巡伝達関数G(S)H(S)=50/S(S+2)(S^2+4)が虚軸上に2jを持つので、虚軸上の点(2j、0)の周りを半径無限小で反時計回りに回って避けるようにとった後に
 
 lim(δ→0)G(2j+δe^jθ)H(2j+δe^jθ)=lim(δ→0){50(-1+j)e^-jθ}/32δ
=lim(δ→0){50√20e^-j(θ+3π/4)}/32δ
という計算をしているのですがどう計算したのかがわからなくて困っています。どうか助けてください。

Aベストアンサー

G(s) と H(s) を別々に評価して、掛け合わせたらしい。

s = 2j + δe^(jθ) として、
  s(s+2) → (-4+4j)  : δ→0
  s^2 + 4 ≒ 4jδe^(jθ)  // δ→0, δ^2 の項を無視
だから、
  lim G(s) * lim H(s)
にて、
  lim G(s) = 50/(-4+4j)
  lim H(s) = lim {1/(4jδe^(jθ)}
として、掛け合わせたのでは?
   


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