固有値問題

境界条件として、
　y(1)=0,y(ω)=0,y(ω＾2)=0
があるときの
　d^3y
------ = λ^3*y
　dx^3
が解けなくて困ってます。ここでωは1以外の1の立方根のことです。
この問題はλを如何に決定するかが鍵だと思うのですがλの満たすべき方程式さえ導出できません。
よろしくおねがいします。

No.2 回答者： atsuota 回答日時： 2000/12/15 08:29

まず一般解を求めます。

（１）λ=0の場合
y = A*x^3 + B*x^2 + C

（２）λ≠0の場合
y = A*exp(λx) + B*exp(λωx) + C*exp(λ(ω^2)x)

と求まります。
あとは境界条件ですが、
（１）λ=0の場合
A + B + C = 0
ω^2*A + ω*B + C = 0
ω*A + ω^2*B + C = 0
より、A = B = C = 0
よって　y = 0 が解
（２）λ≠0の場合
A*exp(λ) + B*exp(λω) + C*exp(λ*ω^2) = 0
A*exp(λω) + B*exp(λ*ω^2) + C*exp(λ) = 0
A*exp(λ*ω^2) + B*exp(λ) + C*exp(λω) = 0より、A = B = C = 0
よって　y = 0 が解

…本当か？？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2000/12/15 03:49

すぐ思いつくのは y=0という解で、確かに「境界条件」を満たしますが.....こりゃひどい。

次は３回対称の指数関数の和：
y = exp(Ax+P)+exp(Aωx+Q)
とか
y = exp(Ax+P)+exp(Aωx+Q)+exp(A(ω^2)x+R)
ですけど、境界条件を満たせるかなあ。

この回答へのお礼

折角の解答だったのですが・・・　また他の機会によろしくお願いします。

お礼日時：2000/12/21 20:28