球面上の円の面積

球面上の円の面積を求めようとして疑問に至りました。

ある緯度で円を描くときに、その緯度より北極側の面積を求めるとします。その答えが、私にとっては不思議なのですが、北極からその緯度上の一点への直線距離を半径とする、平面上の円の面積と同じになると知りました。

確かに全球ならば４πｒ^2で、北極から南極までの直線距離２ｒを半径とした円の面積と同じですし、半球なら２πｒ^2で、北極から赤道までの直線距離√２ｒを半径とした円の面積と同じです。

「なぜ」そうなるのか、求積法を教えていただけないでしょうか。積分を利用したものも知りたいのですが（文系出身なので積分知識が貧困なのです）、幾何的というのでしょうか、図形的な求め方に興味があります。直感的に理解できなくて悩んでいまして……。

直感的なというのは、例えば、平面上の円の面積を求める際には、多くの半径で円を刻んで交互に並べ替え、長方形にしてしまうというやり方を小学校で習いますが、ああいった理解の仕方を想定しています。

どうぞよろしくお願いします。

※地図の作成で、正積方位図法を扱いまして、この疑問を持ちました。

No.2 ベストアンサー 回答者： take008 回答日時： 2006/03/10 17:54

球の中心をＯ，北極をＮとし，ＮＯ上の点Ａを通って直径に垂直な平面と球面との交円（緯線）上の１点をＢとする。

ａ＝ＮＡ，ｂ＝ＡＢ，ｒ＝ＯＮ＝ＯＢ，ｘ＝ＮＢ とする。
ｂ^2＝ｒ^2－(ｒ－ａ)^2
ｘ^2＝ａ^2＋ｂ^2＝２ａｒ

球の切り口より北の部分の表面積をＳ1，ＮＢを半径とする円の面積をＳ2，ついでに，半径ｒ，高さａの円柱の側面積をＳ3とする。

目的：ａをΔａ＝ｒ/ｎだけ増やした時，Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3それぞれの増分がほぼ等しい（ｎ→∞ のとき 誤差→０）ことを示す。

Ｓ2＝πｘ^2＝２ａｒπ
ΔＳ2＝２(ａ＋Δａ)ｒπ－２ａｒπ＝２πｒΔａ

Ｓ3＝２πｒａ＝Ｓ2

ΔＳ1は球面上の細い帯であるが，Ｂを通る緯線で接している円錐の裾で近似してよい。
すなわち，ＯＮの延長上に頂点Ｐがあって，∠ＰＢＯ＝90゜となる円錐である。
△ＰＢＯ∽△ＰＡＢ∽△ＢＡＯ だから母線ＰＢの長さをＬとすると
Ｌ＝ｒ/ｂ ＰＡ
円錐の側面の展開図は扇形で，半径がＬ，弧が２πｂである。中心角をθ，面積をＳとする。
２πｂ＝Ｌθ，　Ｓ＝1/2Ｌ^2θ
ＬがΔＬ増えると
ΔＳ＝1/2(Ｌ＋ΔＬ)^2θ－1/2Ｌ^2θ＝(ＬΔＬ＋1/2ΔＬ^2)θ≒ＬΔＬθ＝２πｂΔＬ
ところで Ｌ＝ｒ/ｂＰＡ より ΔＬ＝ｒ/ｂΔａ
ΔＳ1＝ΔＳ＝２πｒΔａ＝ΔＳ2
証明終わり

考えていた時は直感的だと思ったのですが，実際に書いてみると，直感的とは言えないですね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなり恐縮です。
球と同じ半径の円筒を、同じ高さで切っても、表面積が等しいんですね（Ｓ３）。なんだか中学校で習ったような既視感が現れてきましたが、Ｓ１の求め方は中学では習わないですよね。妙ですね。勘違いでしょうか。
質問させていただいた面積Ｓ２の求め方は、接する円錐面から計算するのですね。なるほどです。

お礼日時：2006/03/14 21:08

No.4 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/16 23:59

> いえ、「地球表面に沿って」ではなく、直線距離です。

（そうでないと計算が合いません）

ごめんなさい。元の記述を完全に読み違えていて、地球表面に沿った距離が半径だと思い込んでました。

それを正しいと思い込んだ上で、直感的なイメージでの説明を試みたのが#3の記述ですので、専門家からのつっこみどころか、質問者からの指摘で、合ってないことが明確になってしまいましたね。

失礼しました。

No.3 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/12 20:06

思いついた、直感的なイメージを書きます。

（合ってる保証はありませんが）

北極点で地球に接する平面を考え、対象とする部分の地球の表面をペリっとはがして、その平面に貼り付けることをイメージしてみます。

このとき、北極を中心とする同心円状に細かく切って（＝細いドーナツ型がたくさんできる）、内側から順に、上の平面に貼っていくことを考えます。

そうすると、平面に円ができるわけですが、この円の半径は、北極からその緯度上の一点への地球上での距離と一致するとイメージできません?
（ちなみに、質問にある「北極からその緯度上の一点への直線距離」は「地球表面に沿って」ということですよね。３次元で考えた直線距離だと、違うものになってしまいますので。）

答えになっているかどうかわかりませんが、思いついたものを書いてみました。間違ってたら、専門家の方からのつっこみをいただけたらと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

> （ちなみに、質問にある「北極からその緯度上の一点への直線距離」は「地球表面に沿って」ということですよね。３次元で考えた直線距離だと、違うものになってしまいますので。）

いえ、「地球表面に沿って」ではなく、直線距離です。（そうでないと計算が合いません）

同心円状にカットして貼りなおすといった操作は、直感的なイメージに合います。そういった視点で回答いただき、ありがたく思うのですが、ただ、傾斜の変化する曲面を貼りなおすのですから、本当にすきまなく、重ならずに貼れるものなのかが心配です。そうでないと面積が変わってしまいます。

お礼日時：2006/03/16 20:16

No.1 回答者： noname#25799 回答日時： 2006/03/09 14:20

そんな式があるのですね。

なるほどと思いました。

直径をR、北極点ー中心ーある緯度の一点のなす角をθAとします（Aは添え字）。また、軽度方向にφを設定します。

１．北極点を含む帽子型の面積は極座標というもので求められます。いい図がないかと探したところ下のURLのがいいかなと思います。これを使って
S＝∫∫R^2sinθdθ・dφ
を求めます。ただしθは0からθAまで、φは0から2πまで。
結果は2πR^2(1-cosθA）となります。

２．ある緯度までの距離をaとすると
a/2=Rsin(θ/2)です。（三角形を描くと分かると思います。）
これよりa=2Rsin(θ/2)
ここで三角公式を使ってsin(θ/2)=(1-cosθ)/2
代入してこれよりa^2=2R^2(1-cosθ)が出てきます。

１．２．を見比べてください。S=πa^2が出てきます。

参考URL：http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/faraday.htm

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりました。
三角関数の積分に自信がないのですが(^^;、調べて計算して確かめてみます。

お礼日時：2006/03/14 18:33