微分積分、そのなかでも線積分、グリーンの定理が必ず載っているわかりやすい本を探しています。今日の授業でこれらを扱ったのですが、指定の教科書には記述がなく、全くわからないので、参考書を買って自学することにしました。大学の生協で何冊か見たのですが、どの本が良いのかわからず困っています。また、試験まであまり日数がないので、できるだけ早い解答と、注文を待つ時間すらないので、その売っていると思われる場所を教えていただけると助かります。

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A 回答 (2件)

「応用解析要論」(田代嘉宏著、森北出版)



付録のページの最後のところにグリーンの定理が載っています。計算式もすべて書いてあります。
他の微分積分の分野についても演習量が豊富で分かりやすいので、勉強しやすい教材だと思います。(言うなれば、チャート式というか)
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改訂 微分積分


洲之内治男/和田淳蔵 共著
サイエンス社
と言うのに載っていました

参考URL:http://www.bekkoame.or.jp/~saiensu
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Q☆積分積分積分積分積分☆

☆積分積分積分積分積分☆
この問題をできるだけ分かりやすく丁寧に教えて下さい、お願いします。
次の条件を満たすXの三次の多項式P(X)を求めよ。
(1)任意の二次以下の多項式Q(X)に対し、∫〈1、ー1〉P(X)Q(X)dX=0
(2)P(1)=1

Aベストアンサー

こんばんわ。

>できるだけ分かりやすく丁寧に教えて下さい、
「丁寧に」解いていけば、難しい問題ではないですよ。^^

P(x)、Q(x)をそれぞれ次のように置きます。
P(x)= ax^3+ bx^2+ cx+ d (ただし、a≠ 0)
Q(x)= px^2+ qx+ r

あとは、それぞれの条件にあてはめて条件式を導き出します。
積分区間が -1≦ x≦ 1という区間なので、整式の「偶奇」を使えば複雑な計算はしなくてもよくなります。

まずは、計算してみてくださいね。

Q複素積分~フィボナッチ? (その2・その3)

前回
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=110649


『zを複素数とする時、数列x_n(n=0,1,2,..., x_nは実数)に対する変換X(z)を以下のように定義する。
    X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n)
この時以下の問いに答えよ。
(1) |z|>Rの領域において、X(z)は収束するとする。この領域内の原点を含む閉曲線をCとする時、逆変換は
    x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz    (∫○CはCを経路とする周回積分記号のつもり。)
となる事を証明せよ。
(2)x_n+2 = x_n+1 + x_n (n=0,1,2,..., x_0=x_1=1)の時、X(z)を求めよ。
(3)前問で求めたX(z)を逆変換する事によって、x_nを求めよ。』

の(1)について解答を頂き解決しました。
ひきづづき(2)(3)に関して教えてください。

Aベストアンサー

[1] x_n+2 = x_n+1 + x_n
の両辺に z^{-n} をかけて n=0~∞ の和を取る.
x_n のところは X(z) そのもの.
左辺は
[2] Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n}
   = z^2 Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n-2}
   = z^2 [ Σ_{m=0}^∞ x_m z^{-m} - x_0 - x_1 z^{-1} ]
   = z^2 [ X(z) - x_0 - x_1 z^{-1} ]
になる.
途中で m=n+2 とおいている.
もともとは m=2~∞ だが,m=0~∞ にして,m=0,1 の分を引いて修正した.
同様にして
[3] Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n}
   = z [ X(z) - x_0]
[1]に代入整理して,x_0 = x_1 = 1 を使えば
[4]  X(z) = z^2 / (z^2 - z -1)
これが(2)の答.

X(z) がわかったから
[5]  x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz
に代入すればよい.
積分路は十分大きな |z| で一周するようにとる(後述).
1位の極 z = α,βが積分路中にあるから,そこでの留数を拾えばよい.
[4]の分母を
[6]  z^2 - z - 1 = (z -α)(z -β)
[7]  α = (√5 + 1)/2,  β=(-√5 + 1)/2
と書いて,
[7]  ∫○C X(z) z^(n-1) dz
    = ∫○C {z^(n+1) / (z -α)(z -β)} dz
    = 2πi [α^{n+1}/(α-β) + β^{n+1}/(β-α)]
あとは,整理して
[8]  x_n = (1/√5) (α^{n+1} - β^{n+1})
が求める答.

十分大きな |z| で一周するように積分路を取るのは,
最初の級数 X(z) の収束条件と関係がある.
"収束半径" (今は逆べき級数だから,|z|>R なら収束,ということになる)
のRがちょうどαになっている.
それは,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=94834
で議論したように,コーシー・アダマールの定理やダランベールの定理によればよい.
したがって,十分大きな |z| で一周とは,
|z|>α で一周ということ.

[1] x_n+2 = x_n+1 + x_n
の両辺に z^{-n} をかけて n=0~∞ の和を取る.
x_n のところは X(z) そのもの.
左辺は
[2] Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n}
   = z^2 Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n-2}
   = z^2 [ Σ_{m=0}^∞ x_m z^{-m} - x_0 - x_1 z^{-1} ]
   = z^2 [ X(z) - x_0 - x_1 z^{-1} ]
になる.
途中で m=n+2 とおいている.
もともとは m=2~∞ だが,m=0~∞ にして,m=0,1 の分を引いて修正した.
同様にして
[3] Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n}
   = z [ X(z) - x_0]
[1]に代入整理して,...続きを読む

Qフーリエの積分定理がわかりません

フーリエの積分定理:{f(x+0)+f(x-0)}/2

例えば、

f(x){|x| (|x|≦1)
  { 0 (|x|>1)

というものがあって、これをフーリエ余弦変換したものを用いて
次の公式を導けというものです。

範囲は0→∞
(1)∫{(u・sin(u)+cos(u)-1)/u^2}du = π/4

答えとかは分かってるんですが、
関数f(x)はx=1で連続で無いから、フーリエの積分定理より

{f(1+0)+f(1-0)}/2 = ~(1)の左辺を余弦変換したもの
     (0+1)/2 = ~

このときに、左辺でフーリエの積分定理を使ってるんですが、
自分としてはxに何を入れてもf(x)じゃないのか?と思うわけです。

なので、なぜ f(x+1) = 0 と f(x-1) = 1 になるのか教えてください。

あと、x=1にする理由もわかりません。
x=(-1)じゃ駄目な理由も教えてもらえると助かります。

Aベストアンサー

>f(x+0)の意味が分からないので、とりあえずf(x+0) = f(x)じゃないの?
>という風な見方をしています。

普通は f(x+0) = lim_{h -> +0} f(x+h) という意味だと思います。
f(x-0) はその逆ね。

Q留数定理を用いた積分

∫(x^2/(x^6+1) dx(-∞~+∞)の計算なのですが、f(x)を複素関数として留数定理をつかって考えるというのはというのはわかるのですが、留数定理をどう使うのかがわかりません。あと極という言葉の意味がわからないのでそのへんの説明もしてくれたらマジで助かります。回答してくれたら幸いです。

Aベストアンサー

少し勉強してわかるようになったら、自力解を作って、補足に解答の計算過程を書いてわからないところを質問してください。まったくわからないでは、まだ質問するのは早すぎます。
下記にも複素積分に必要な3つの積分定理(公式)とローラン展開(テイラー展開)が載っていますので、まず複素積分法をちゃんと勉強をして、理解できる用になってから質問してください。
また、ゼロ点や極の概念もあわせて覚えてください。

http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/math10.pdf
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/residue/integral2.htm
http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/doc/B/math/node7.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/added/mathB01_80_03.htm
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node38.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/090cmp.html
http://www2.kobe-u.ac.jp/~ynaito/com/com-16.pdf

ちなみに、質問の積分はπ/3になります。

注)
有理関数の分母の零点(zeros)を有理関数の極(poles)という。

少し勉強してわかるようになったら、自力解を作って、補足に解答の計算過程を書いてわからないところを質問してください。まったくわからないでは、まだ質問するのは早すぎます。
下記にも複素積分に必要な3つの積分定理(公式)とローラン展開(テイラー展開)が載っていますので、まず複素積分法をちゃんと勉強をして、理解できる用になってから質問してください。
また、ゼロ点や極の概念もあわせて覚えてください。

http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/math10.pdf
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_...続きを読む

Q複素関数の積分の定理の証明です。

複素関数の積分の定理の証明です。

?∫(a→b)ξ(t)dt?≦∫(a→b)?ξ(t)?dt の証明で、私の本には、以下の通りでした。
∫(a→b)ξ(t)dt =?∫(a→b)ξ(t)dt?(eのiθ乗)とおける。この両辺に(eの-iθ乗)をかける。
また、ξ(t)=?ξ(t)?(eのiφ乗)とおくと、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=(eの-iθ乗)∫(a→b)ξ(t)dt=∫(a→b){eのi(φ-θ)乗}?ξ(t)?dt となる。とありました。

私は、ここまでは、納得できるのですが、次は、

eのi(φ-θ)乗=cos(φ-θ)+isin(φ-θ)と変形し、実数条件のため、isin(φ-θ)=0とし、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=∫(a→b)cos(φ-θ)?ξ(t)?dt ≦ ∫(a→b)?ξ(t)?dt  となっております。
実数条件で正弦が0なら、複素数の範囲でも、余弦は、1 or -1にしかならないかと。また、絶対値ですから、実数といっても、負ではないので、余弦は、1にしかならないのではないかと思えるんですね。そうすると、?∫(a→b)ξ(t)dt?=∫(a→b)?ξ(t)?dt ではないかと。

私の考えのどこがまちがっているのでしょうか?

複素関数の積分の定理の証明です。

?∫(a→b)ξ(t)dt?≦∫(a→b)?ξ(t)?dt の証明で、私の本には、以下の通りでした。
∫(a→b)ξ(t)dt =?∫(a→b)ξ(t)dt?(eのiθ乗)とおける。この両辺に(eの-iθ乗)をかける。
また、ξ(t)=?ξ(t)?(eのiφ乗)とおくと、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=(eの-iθ乗)∫(a→b)ξ(t)dt=∫(a→b){eのi(φ-θ)乗}?ξ(t)?dt となる。とありました。

私は、ここまでは、納得できるのですが、次は、

eのi(φ-θ)乗=cos(φ-θ)+isin(φ-θ)と変形し、実数条件のため、isin(φ-θ)=0とし、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=∫(a→b)cos(φ-θ)?ξ(t)?dt ≦ ∫(a...続きを読む

Aベストアンサー

文字化けしていて何が何やら・・・と思いましたが、化けているのは絶対値の記号ですか?
もしそうなら、パイプ文字("|")がお勧めですよ。

さて、

> 私の考えのどこがまちがっているのでしょうか?

φがtに依存することを見落としているようです。


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