111
行列A=(111)を直交行列により対角化せよ。
     111
         という問題なんですけど、解けないんです(泣)
    
  どなたか、教えてください。

A 回答 (3件)

固有値と固有ベクトルの求め方はできるでしょう~


省略して、固有値は0(重解)と3です。
固有ベクトルは
X1=c1(-1 1 0)+ c2(-1 0 1)

X2=c3(1 1 1)です。

3つの固有ベクトルとも直交してないので、直交させるベクトルをもとめる必要がるんです。

(-1 1 0)x(-1 0 1)=-1(0でない)
(-1 0 1)x(1 1 1)=0
これより、
(a b c)x(-1 0 1)x(1 1 1)=0になるように、
abcと求めばいいです。つまり、
(a b c)x(-1 0 1)=0
(a b c)x(1 1 1)=0
連立して、解けます。
(abc)=(1 -2 1)

これより、直交ベクトルができます。
対角化ベクトルは
000
000
003
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問題:


実n次正方行列Aについて
・Aは直交行列で対角化できるか?
・できるならAを直交行列で対角化せよ

手順:
(1)
Aが対称行列であることを確認する
定理:「実正方行列AにおいてAが直交行列によって対角化できるための必要十分条件はAが対称行列であることである」
定理:「複素正方行列AにおいてAがユニタリ行列によって対角化できるための必要十分条件はAが正規行列であることである」
(2)
固有値を求める
Eをn次単位行列として|A-λ・E|=0の解を求める
λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]をそれぞれ
|A-λ・E|=0の
k[1],k[2],k[3],・・・,k[m]重根とする
k[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[m]=nである
λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]はすべて実数である
定理:「実正方対称行列の固有値はすべて実数である」
定理:「エルミート行列の固有値はすべて実数である」
(3)
固有ベクトル空間を求める
λ[i]の固有ベクトルをv[i]とするとv[i]は
(A-λ[i]・E)・v[i]=0から求めることができる
この式を満たすv[i]の集合はベクトル空間(固有ベクトル空間)V[i]を形成しその次元はk[i]である
各iについてV[i]の基底を求める
(4)
シュミットの直交化法によって
各iについてV[i]の基底を正規直交化する
定理:「実正方対称行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
定理:「正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
(5)
(4)により求めた基底をすべて(n個)並べて行列Pを作る
Pはすでに直交行列になっている
すべてのiについてλ[i]をk[i]個対角に並べてn次対角行列Λをつくる
するとP^(-1)・A・P=Λとなっている
ただしP作成時固有ベクトルを並べる順とΛ作成時固有値を並べる順はあわせる
定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次実ベクトルを並べてできる行列は直交行列である」
定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次複素ベクトルを並べてできる行列はユニタリ行列である」

定義:
単位行列:対角成分がすべて1の対角行列E
対称行列:A^T=Aである行列A
直交行列:A^T・Aが単位行列である実行列A
エルミート行列:A^*=Aである行列A
ユニタリ行列:A^*・Aが単位行列である行列A
正規行列:A^*・A=A・A^*である行列A
ただし
A^TはAの転置行列
A^*はAの複素共役転置行列

単位行列、実対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列はすべて正規行列である
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まず行列の対角化について次の事を知っていないといけません。

3次とします。

正方行列Aのの固有値λ1,λ2,λ3についてそれぞれに属する0でない固有ベクトルをp1,p2,p3とするとき、行列
P=(p1,p2,p3)=(p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33)
を対角変換行列といいます。
そして、行列Aは以下のようにPによって対角化されます。
P-1AP=(λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3)

そして問題ですが、まずAの固有値を求めなければなりません。
|A-λI|=0を解きます。
|1-λ 1 1
1 1-λ 1
1 1 1-λ|
=(1-λ)^3+1+1-3(1-λ)=(3-λ)λ^2
なので固有値は λ1=0,λ2=0,λ3=3
となり,固有ベクトルPは
P=V =
0.4082 0.7071 0.5774
0.4082 -0.7071 0.5774
-0.8165 0 0.5774
となり、P^-1AP=(0 0 0.0000
     0 0  0.0000
     0 0 3.0000)
となります。
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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q3×3行列の固有値重解時の対角化の方法

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=0
|-1 2 1||X3|

∴{X2+X3=0
 {-X1+2X2+X3=0
X3=kとおくと
X2=-k,X1=-k

∴固有ベクトル
  |-1|
p1=k|-1|
  | 1|

(ii)λ=2(重解)の時
|-1 2 2||X1|
| 0 0 1||X2|=0
|-1 2 0||X3|

∴{-X1+X2+X3=0
 {X3=0
 {-X1+2X2=0

X3=X1-X2
X1=s,X2=tとおくと
X3=s-t

∴固有ベクトル
  | 1 | |0|
p2=s| 0 |+t|1|
 |0.5| |1|より

直行行列
  |-1 1 0|
P= |-1 0 1|
  | 1 0.5 1|
とする。
また、
直交行列の逆行列
   |-1 -2 2|
P-1= 1/5| 4 -2 2|
   |-1 3 2|

これらを用いて計算すると
    |1 -6 -4|
P-1AP= |0 14 36|
    |0 1 26|

となり、途方にくれてしまいます。
|1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|になってくれません。
どこで間違いをおしているのでしょうか?
教えて下さい。

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=...続きを読む

Aベストアンサー

固有値2に対する一次独立な
固有ベクトルはひとつしか
作れませんよね?

こういう場合は対角化できないのです。

Q直行行列による対角化

先ほど質問させていただいたのですがもう一度…
次の対称行列を直行行列によって対角化せよという問題で、その行列は
1 1 2
1 2 1
2 1 1
の3行3列の行列です。
私の解き方は固有値、固有ベクトルを求め、固有ベクトルから
グラム・シュミットを利用してe1,e2,e3を求め、それを縦に並べたのを
Pとおき、Pの逆行列を求め、P^-1APを計算するというやり方です。
やっていて、疑問に思ったのがPと置くときe1,e2,e3の並べ方はどのように
並べても最終的な答えは変わらないのでしょうか??
回答ではPの値は、()はルートを表しています。
1/(3) 1/(6) 1/(2)
1/(3) -2/(6) 0
1/(3) 1/(6) -1/(2)
となっているのですが私は
1/(6) 1/(3) 1/(2)
-2/(6) 1/(3) 0
1/(6) 1/(3) -1/(2)
となっています。これでも問題なく解けますか??
また私のPの場合Pの逆行列はどうなりますか??
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

元の行列の固有値は-1,1,4でしょうかね
-1に対する固有値、t(1/(2),0,-1/(2))
1に対する固有値、t(1/(6),-2/(6),1/(6))
4に対する固有値、t(1/(3),1/(3),1/(3))

回答は、固有値4,1,-1に対応する固有ベクトルの順に、直交行列を作った。
kita813さんは、固有値1,4,-1に対応する固有ベクトルの順に、直交行列を作った。

…のでしょう。
従って、対角化された行列の数字の並びは対応の仕方によって違ってきます。

>これでも問題なく解けますか??
どちらも、正しいですね。

数学の本に載っている証明を、そのように問題意識を持って読み直しましょう。
更に、理解は深まります。
見方を変えると、数学の証明はそのように読むべきです。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q行列・対角化可能の条件は?

行列で対角化可能の時の条件を教えて下さい。
問題で固有値、固有ベクトル、対角化可能の場合は対角化する正則行列を求めよ、とあります。
3×3行列で固有値が3つ、全て異なる場合は対角化可能。
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
では、固有値が2つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか?
例えば

   -3 -2 -2
B=[ 2  1  2  ]
    2  2  1

 の時、固有値は1、-1(重解)ですが対角化可能です。なぜでしょうか?宜しくお願いします。

Aベストアンサー

きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。

3×3行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「3つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。
相異なる3つの固有値を持てば3つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。

2つの相異なる固有値しか持たない場合の例:
000
010
001
は対角化可能であり
000
011
001
は対角化不可能である。
1つの固有値しか持たない場合:
100
010
001
は対角化可能であり
110
010
001
は対角化不可能である。


従って
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
はうそです。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.


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