111
行列A=(111)を直交行列により対角化せよ。
     111
         という問題なんですけど、解けないんです(泣)
    
  どなたか、教えてください。

A 回答 (3件)

固有値と固有ベクトルの求め方はできるでしょう~


省略して、固有値は0(重解)と3です。
固有ベクトルは
X1=c1(-1 1 0)+ c2(-1 0 1)

X2=c3(1 1 1)です。

3つの固有ベクトルとも直交してないので、直交させるベクトルをもとめる必要がるんです。

(-1 1 0)x(-1 0 1)=-1(0でない)
(-1 0 1)x(1 1 1)=0
これより、
(a b c)x(-1 0 1)x(1 1 1)=0になるように、
abcと求めばいいです。つまり、
(a b c)x(-1 0 1)=0
(a b c)x(1 1 1)=0
連立して、解けます。
(abc)=(1 -2 1)

これより、直交ベクトルができます。
対角化ベクトルは
000
000
003
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問題:


実n次正方行列Aについて
・Aは直交行列で対角化できるか?
・できるならAを直交行列で対角化せよ

手順:
(1)
Aが対称行列であることを確認する
定理:「実正方行列AにおいてAが直交行列によって対角化できるための必要十分条件はAが対称行列であることである」
定理:「複素正方行列AにおいてAがユニタリ行列によって対角化できるための必要十分条件はAが正規行列であることである」
(2)
固有値を求める
Eをn次単位行列として|A-λ・E|=0の解を求める
λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]をそれぞれ
|A-λ・E|=0の
k[1],k[2],k[3],・・・,k[m]重根とする
k[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[m]=nである
λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]はすべて実数である
定理:「実正方対称行列の固有値はすべて実数である」
定理:「エルミート行列の固有値はすべて実数である」
(3)
固有ベクトル空間を求める
λ[i]の固有ベクトルをv[i]とするとv[i]は
(A-λ[i]・E)・v[i]=0から求めることができる
この式を満たすv[i]の集合はベクトル空間(固有ベクトル空間)V[i]を形成しその次元はk[i]である
各iについてV[i]の基底を求める
(4)
シュミットの直交化法によって
各iについてV[i]の基底を正規直交化する
定理:「実正方対称行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
定理:「正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」
(5)
(4)により求めた基底をすべて(n個)並べて行列Pを作る
Pはすでに直交行列になっている
すべてのiについてλ[i]をk[i]個対角に並べてn次対角行列Λをつくる
するとP^(-1)・A・P=Λとなっている
ただしP作成時固有ベクトルを並べる順とΛ作成時固有値を並べる順はあわせる
定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次実ベクトルを並べてできる行列は直交行列である」
定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次複素ベクトルを並べてできる行列はユニタリ行列である」

定義:
単位行列:対角成分がすべて1の対角行列E
対称行列:A^T=Aである行列A
直交行列:A^T・Aが単位行列である実行列A
エルミート行列:A^*=Aである行列A
ユニタリ行列:A^*・Aが単位行列である行列A
正規行列:A^*・A=A・A^*である行列A
ただし
A^TはAの転置行列
A^*はAの複素共役転置行列

単位行列、実対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列はすべて正規行列である
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まず行列の対角化について次の事を知っていないといけません。

3次とします。

正方行列Aのの固有値λ1,λ2,λ3についてそれぞれに属する0でない固有ベクトルをp1,p2,p3とするとき、行列
P=(p1,p2,p3)=(p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33)
を対角変換行列といいます。
そして、行列Aは以下のようにPによって対角化されます。
P-1AP=(λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3)

そして問題ですが、まずAの固有値を求めなければなりません。
|A-λI|=0を解きます。
|1-λ 1 1
1 1-λ 1
1 1 1-λ|
=(1-λ)^3+1+1-3(1-λ)=(3-λ)λ^2
なので固有値は λ1=0,λ2=0,λ3=3
となり,固有ベクトルPは
P=V =
0.4082 0.7071 0.5774
0.4082 -0.7071 0.5774
-0.8165 0 0.5774
となり、P^-1AP=(0 0 0.0000
     0 0  0.0000
     0 0 3.0000)
となります。
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3×3行列で固有値が3つ、全て異なる場合は対角化可能。
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では、固有値が2つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか?
例えば

   -3 -2 -2
B=[ 2  1  2  ]
    2  2  1

 の時、固有値は1、-1(重解)ですが対角化可能です。なぜでしょうか?宜しくお願いします。

Aベストアンサー

きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。

3×3行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「3つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。
相異なる3つの固有値を持てば3つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。

2つの相異なる固有値しか持たない場合の例:
000
010
001
は対角化可能であり
000
011
001
は対角化不可能である。
1つの固有値しか持たない場合:
100
010
001
は対角化可能であり
110
010
001
は対角化不可能である。


従って
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
はうそです。

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よろしくおねがいします.

Aベストアンサー

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前回のところでも書いたのですが、もう一言だけ。理論的には同時対角化の証明ができましたが、実際にどうやるかここで書いてみます。A,B,Cは全部互いに可換な対角化可能な行列で、簡単のためそれぞれ固有値α1、α2、β1、β2、γ1、γ2をもつとしましょう、そして次のものを求めます。
W(α1)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ2)
そしてここからそれぞれ次元分だけ一次独立なベクトルを取り出して、それを並べた行列を作れば必ず対角化できます。もしもとの行列が4次だとすれば、すくなくとも上のうち4つは0次元のベクトル空間になってつぶれてしまっていますけれど。

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ちなみに上のように各固有空間の共通部分をとったものは、当然互いに直交しますが、これらを全部足し合わせたものの次元が行列の次元に一致する場合が対角化可能になっています。それは、1次独立なベクトルが行列の次数分とれれば正則行列が作られるからですね。逆に行列の次数に満たない場合は1次独立なベクトルが足りなくなります。それは同時に対角化できるような正則行列がとれないことを意味するわけです。そして先ほどの証明は行列が互いに可換だったら、かならず上の固有空間の共通部分を全部あわせたものが行列の次数まで一致することを証明したことになっているのです。

前回のところでも書いたのですが、もう一言だけ。理論的には同時対角化の証明ができましたが、実際にどうやるかここで書いてみます。A,B,Cは全部互いに可換な対角化可能な行列で、簡単のためそれぞれ固有値α1、α2、β1、β2、γ1、γ2をもつとしましょう、そして次のものを求めます。
W(α1)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α1)∩W(β2)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β1)∩W(γ2)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ1)
W(α2)∩W(β2)∩W(γ2)
そしてここからそれぞれ次元分だけ一次独立なベクトルを取り出して、...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
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(3 3 1)
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Aベストアンサー

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Q対称行列を直行行列で対角化

次の対称行列を直行行列で対角化せよ、という問題で、解き方が分からないので一つずつ順を追って教えていただきたいです。

3 0 0
0 1 2
0 2 1

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Aベストアンサー

では簡単に。まず λ=-1 では A-λE は

4 0 0
0 2 2
0 2 2

なので (A-λE)X = 0 ( X = (x, y, z)^T, ^T: 転置 )なら

x = 0, y = -z になるから、固有空間は直線で、片方の方向を採用して正規化すると
固有ベクトルは

v1=(0, √(2)/2, -√(2)/2)~T

λ=3 はちょっとやっかいで

0 0 0
0 -2 2
0 2 -2

だから y = z で、固有空間は平面を表すベクトル集合になります。
この平面は λ=-1 の固有ベクトルと垂直なので、適当に
選んだ正規化された基底を2こ選べばよい。

#対称行列の固有ベクトルは勝手の直交するけど、この問題はそれを
#わからせる目的なのでしょう。

y = z を満たす直交した正規化されたベクトルを適当に見繕うと
v1 = (1, 0, 0)^T
v2 = (0, √(2)/2, √(2)/2)~T

なので対角化用の行列 P は3個のベクトルを適当に並べて

1 0 0
0 √(2)/2 √(2)/2
0 √(2)/2 √(2)/2

とすればよい。

P^(-1)AP

で対角化できます。

直交行列では、P^(-1)=P^T を利用すると計算が
簡単です。

では簡単に。まず λ=-1 では A-λE は

4 0 0
0 2 2
0 2 2

なので (A-λE)X = 0 ( X = (x, y, z)^T, ^T: 転置 )なら

x = 0, y = -z になるから、固有空間は直線で、片方の方向を採用して正規化すると
固有ベクトルは

v1=(0, √(2)/2, -√(2)/2)~T

λ=3 はちょっとやっかいで

0 0 0
0 -2 2
0 2 -2

だから y = z で、固有空間は平面を表すベクトル集合になります。
この平面は λ=-1 の固有ベクトルと垂直なので、適当に
選んだ正規化された基底を2こ選べばよい。

#対称行列の固有ベクトルは勝手の直交するけど、...続きを読む


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