弾性係数テンソル内の独立成分

Question

Hookeの法則を勉強しなおしているのですが、わからない点が二点あるので、教えてください。

Hookeの法則の定義どおり、応力が歪みに比例するとすると、
(応力テンソル　9成分)=(弾性係数テンソル 81成分) (歪みテンソル 9成分)
と書けるかと思います。

これらの成分の中で弾性係数テンソルは、応力と歪みの対称性と歪みエネルギー密度関数の存在の仮定から独立な成分が21成分となると参考書に記述があるのですが、この部分が理解できないので、教えてください。

もう一つの質問ですが、応力テンソルは角運動量保存則から独立成分が6成分となるとの記述があるのですが、こちらも理由の部分が理解できません。

これら二点について、よろしくお願いいたします。

ddtddtddt · Accepted Answer

以下では、通常下付添字で表すものを、σ(x,x)などと表記します。

(1)歪みテンソル6成分
　弾性体なので、歪みテンソルの1次の項だけ取ると、それは変位場のJacobi行列Ｊに等しくなります。Ｊに歪み速度分解、Ｊ1＝(Ｊ＋Ｊ')/2，Ｊ2＝(Ｊ－Ｊ')/2，Ｊ＝Ｊ1＋Ｊ2をかけます。ここでＪ'はＪの転置です。
　反対称なＪ2の成分を調べると、変形に寄与しない回転成分のみなので、これは捨てます。対称なＪ1の対角成分は伸縮歪み、非対角成分はせん断歪みが成分になっています。Ｊ1は3×3のマトリックスで、しかも対称なので、最大で(3×3－3)/2＋3＝6成分が独立です。

(2)応力テンソル6成分
　角運動量保存則とは、要するに偶力の釣り合いです。応力テンソルは、σ(x,x)，σ(y,y)，σ(z,z)，τ(x,y),τ(y,z),τ(z,x),τ(y,x),τ(z,y),τ(x,z)の9成分ありますが、2次元に投影して偶力の釣り合いをとると、τ(x,y)＝τ(y,x)，τ(y,z)＝τ(z,y),τ(z,x)＝τ(x,z)が得られて、6成分になります。ふつうこの事は、せん断応力の共役性（対称性）と言われると思います。

(3)弾性テンソル21成分
  (1)と(2)より、独立な応力－歪み関係は、
(応力テンソル　6成分)=(弾性係数テンソル 36成分) (歪みテンソル 6成分)
となります。ここで、弾性体が等方かつ一様であるとすると、例えばx軸とy軸を入れ換えても弾性テンソルＥは不変でなければならないので、結局Ｅは対称行列だ、という結論になります。従って独立成分は、最大で(6×6－6)/2＋6＝21成分になります。

  歪みエネルギー密度関数の存在の仮定とかは、このようなことを、きちんと数学的に定式化したものと思えます（ここはちょっと自信ありません）。

ddtddtddt · Answer

(3)は等方材料に限った話なのでしょうか？＞
　#1です。弾性テンソルの公理的（？）扱いは、最後まで実行した事がないので、詳しいことは言えませんが、次のようなことは確かにあると思います。

(1)等方性⇒対称行列という条件は、じつはかなり強い条件で、一般的には非対称であっても21個の独立成分になるのかもしれない。

(2)等方性に限っても、弾性テンソルの決定には、現実の材料挙動に基づく仮定が含まれている。
　例えば、ポアソン比がそうです。もう一つは、伸縮変形モードとせん断変形モードの独立性。例えば、純圧縮状態がせん断変形を伴う事はない（逆も正しい）という観察から、非対角成分のかなりの部分が0になる。

(3)弾性テンソルにも力学的制約条件などがある。
　ご存知と思いますが、等方性体の応力状態の回転不変性から、ポアソン比νを介してヤング率Ｅとせん断弾性係数Ｇが結びつきます。(2)とこの事から、等方性体の弾性テンソルは、Ｅ，Ｇ，νの3個のパラメータで決まり、実質的な自由度は3です。
　異方性体であっても、異なる方向のポアソン比には、一定の制約条件が付いたと思います。

　上記の事情から、少なくとも等方性体の場合は、21個より独立成分は減ります。全く勝手な想像なのですが、これらの事を、エネルギー密度関数の特徴づけに反映させれば、同じ結論が得られるのではないかと想像しました。とりとめない文章で、申し訳ありません。

弾性係数テンソル内の独立成分

以下では、通常下付添字で表すものを、σ(x,x)などと表記します。

(3)は等方材料に限った話なのでしょうか？＞

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　以下では、通常下付添字で表すものを、σ(x,x)などと表記します。