三角形の比

「AB=ACの二等辺三角形があり，辺AB上にAD:DE:EB＝３：４：２となる点D，Eをとり，辺AC上にAF:FG:GC＝２：３：１となる点F，Gをとる。DGとEFの交点をHとするとき
(1)DH:HGを最も簡単な整数比で求めよ
(2)EH:HFを最も簡単な整数比で求めよ
(3)△DHFの面積が160であるとき，△HFGの面積は？」
という問題で，ABとAC上の比を統一するとAD:DE:EB＝6：8：4，AF:FG:GC＝6：9：3となり，AD＝AFということがわかります。この先はどう考えたらよいのでしょうか？アドバイスを頂きたいです。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/28 15:39

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いつも通り質問者様の履歴を調べました。
ＨＮの由来も判明しました。感心しました。

（１）ｓｔ解法が必須です。
（２）チェバの定理メネラウスの定理は貴殿ならＭＡＳＴＥＲ出きます。
（３）斜交座標・ＡＦＦＩＮＥ座標。

（１）ｓｔ解法はvectorの基本です。
（２）ＷＥＢ検索して下さい。また参考書には記載されています。ただし、正式解答として使用出来るか、については極めて微妙です。確認用に便利です。
（３）ｓｔに通じます。ただし正式解答としては不可です。機会があれば、解説いたします。
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この回答へのお礼

ありがとうございました，参考にさせていただきます。

お礼日時：2007/04/03 08:19

No.5 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/30 02:07

＃３で　（３）斜交座標・ＡＦＦＩＮＥ座標。

と書いた解法を書きます。メネラウスを知らない時の＜確認用です＞因みに、メネラウスをＬＩＮＫします。http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page11.html

ｘｙ座標でＡ（０、０）、Ｅ（１，０）、Ｇ（０，１）をとる。
次に比を考慮してＤ（３/７、０）、Ｆ（０、２/５）をとる。
直線ＤＧ、ＥＦの方程式を作る。ここでは切片方程式でやります。
（７/３）ｘ＋ｙ＝１、ｘ＋（５/２）＝１
解いて、ｘ＝９/２９、ｙ＝８/２９

この後がやや難関

ｘ＝９/２９は点Ｈのｘ座標　睨んでいると
EH:HF＝２０：９　が見えればＯＫ

ｙ＝８/２９は点Ｈのｙ座標　睨んでいると
DH:HG＝８：２１　　は見えますか。
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実は失敗しました。＃４で
ＧＨ＝ｘ、ＨＤ＝１－ｘ、ＥＨ＝ｙ、ＨＦ＝１－ｙとしましたが、これをＧＨ＝１－ｙ、ＨＤ＝ｙ、ＥＨ＝１－ｘ、ＨＦ＝ｘと置けば、計算過程も全く同形になるんです。残念。
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さて、もうひとつ気になる事があります。この問題の条件に
＞AB=ACの二等辺三角形

しかし、この条件は全く使っていません。

この理由はふたつ考えられます。
１　省略された設問に関与する。
２　不要な条件である。
この場合は、推理小説で俗に＜赤ニンジン＞と呼ばれる、ミスリードを誘う要因になります。貴殿が
＞ABとAC上の比を統一するとAD:DE:EB＝6：8：4，AF:FG:GC＝6：9：3となり、AD＝AFということがわかります。
と記述しているように、あたかも此れから解けるような錯覚に陥ります。（これで解けない、という意味ではなく思考が混乱する、と言う意味です）

重ねて言いますが、正式解答としては０点です。

ＳＥＥ　ＹＯＵ－－－－－－－

この回答へのお礼

ありがとうございます！様々な解法があるのですね，参考にさせていただきます。

お礼日時：2007/04/03 08:22

No.4 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/30 00:23

久しぶりにｓｔをやる気になりました。

別解の関係で、ｓｔではなくｘｙを使います。その前に、不可解な点を２つ指摘します。
＊本問題では、Ｂ、Ｃは不要。つまり質問は全部記載されていない、と推測します。実はもう一度Ｂ、Ｃを使用して、計３回計算すると、パスカルの定理の直線版が証明出来るので、もしやと・・・。
＊(3)△DHFの面積が160であるとき，△HFGの面積は？は余り意味のない問題なので、△HＦGは誤植で＜△HＥG＞だと推測しています。
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijim …

ＧＨ＝ｘ
ＨＤ＝１－ｘ
ＥＨ＝ｙ
ＨＦ＝１－ｙ

vectorＡＥ＝ｅ
vectorＡＧ＝ｇ　　
vectorＡＨ＝ｈ　　　ｅ，ｇ、ｈ　はvector

ｈを２通りで表す。

線分ＥＦ上にＨがあると見て
ｈ＝ｙ（２/５）ｇ＋（１－ｙ）ｅ
線分ＤＧ上にＨがあると見て
ｈ＝（１－ｘ）ｇ＋ｘ（３/７）ｅ

係数比較で
ｙ（２/５）＝（１－ｘ）
（１－ｙ）＝ｘ（３/７）　　解いて
ｘ＝２１/２９
ｙ＝２０/２９　　　　　　　よって
(1)DH:HG＝８：２１
(2)EH:HF＝２０：９　　　次に問題を変えて
(3)△DHFの面積が160であるとき，△HＥGの面積は？
△DHF:△HＥG
＝（１/２)＊９＊８＊sinθ：（１/２)＊２０＊２１＊sinθ
＝６：３５
＝１６０：２８００/３
ーーーto be continuedーーー

この回答へのお礼

詳しく説明していただいて，ありがとうございました，参考にさせていただきます。

お礼日時：2007/04/03 08:21

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/03/27 15:02

メネラウスの定理を知っていれば簡単ですが、知らないとかなりやっかいだと思います。

自分でメネラウスの定理を導けと言われているのとほとんど同じですから。

(1)HGがDHの何倍かということを考えます。それは、四角形AHEC（凹四角形）の面積は△AEHの面積の何倍かということと同じです。(a)
四角形AHECは△ECHと△FCHを足したものです。
△ECHが△AEHの何倍であるのかはAF：FGから求まります。(b)
△ACHが△ECHの何倍であるのかはAD:EDから求まります。(b)と合わせて、△AEHの何倍であるのかも求まります。(c)
(b)、(c)から(a)が求まります。
あとは、最も簡単な整数比に直せばよいだけです。

(2)も同様です。
(3)は(1)から求まるはずです。

この回答へのお礼

ありがとうございました，参考にさせていただきます。

お礼日時：2007/04/03 08:19

No.1 回答者： fukuda-h 回答日時： 2007/03/27 14:46

メネラウスの定理を使います。

とても便利な定理です
(AE/ED)*(DH/HG)*(GF/FA)＝1　（AG/GF)*(FH/HE)*(ED/DA)＝1
面積はΔＦＤＧにおいて底辺ＤＧに注目して
ΔＤＨＦ：ΔＨＦＧ＝ＤＨ：ＨＧ　（高さ共通より）
を使って計算します。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2007/04/03 08:18