因数がよくわからないので教えてもらいたいです。

7の因数は1つ、30の因数は3つ、462の因数は3つ。

どういう理由でそれらの因数の数が出るのでしょうか?

A 回答 (11件中11~11件)

462 = 2 × 3 × 7 × 11 だから4つ。


30 = 2 × 3 × 5 だから3つ。
7 = 7 でこれは1つ。

素数、つまり自分自身と1以外では割り切れない数。
2,3,5,7,11,13,17,.....
素数以外の数(合成数)は、いくつかの素数をかけ算したものとして表せます。この表し方は1通りしかないんですよ。
 そのかけ算する素数が素因数であり、幾つ素因数を掛ければよいかを数えれば、個数がわかる。
 もっと説明が必要なら補足してください。
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できれば途中式もお願いします。
自分でやったら−5,6,11なってしまいました…

Aベストアンサー

3つの数を、a、ar、ar^2とする。
a^3r^3=216
ar=6
a+6+6r=19
a+6r=13
a=13-6r
(13-6r)r=6
6r^2-13r+6=0
r=2/3, 3/2
r=2/3のときa=9
r=3/2のときa=4
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4, 6, 9
答え 3つの数は、4, 6, 9
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これは、複素数の範囲では正しいですというのが、まずは、回答です。
たとえば、(x^2 + 1) は、実数の範囲では因数分解できません。

これは、「代数学の基本定理」というものと、因数定理で説明できる内容です。
代数学の基本定理は、「n 次の複素係数の代数方程式は複素数の範囲で必ず解を持つ」という定理です。
(証明はちょっとやっかい)

平たくいえば、n次式=0と置いた方程式は、(複素数の範囲まで広げれば)必ず解を持つという意味です。
一方で、因数定理は高校で出てくると思いますが、
n次式 = 0 と置いた方程式が、x = a を解として持つなら、この n 次式は (x - a) という因数を持つという定理です。

これを併用して、

n次式 = 0 とおいた方程式は必ず解を持つ。それを、a とおく
n次式 = (x - a)(n - 1次式)と因数分解できる。

n - 1次式 = 0 とおいた方程式は、必ず解を持つ。それを、b とおく。
n - 1次式 = (x - b)(n - 2次式)と因数分解できる。

最初から見れば、
n 次式 = (x - a)(x - b)(n - 2次式)と因数分解できる。

これを繰り返すと、n 次式が n 個の因数に分解できることがわかります。

もうすこし厳密に証明しようとすれば、数学的帰納法で、

1次式は1個の因数を持つ。
n-1次式が必ずn-1個の因数を持つと仮定すると、
n次式は、(上述のないようから) (x - a)(n - 1次式)に因数分解できる。
仮定より、n - 1次式は、必ず、n - 1個の因数を持つから、n次式はn個の因数を持つ。
という論法になります。

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Aベストアンサー

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