因数がよくわからないので教えてもらいたいです。

7の因数は1つ、30の因数は3つ、462の因数は3つ。

どういう理由でそれらの因数の数が出るのでしょうか?

A 回答 (11件中1~10件)

またまたstomachmanです。

今度はきっちり用語を調べましたよ。(最初の回答と重複しますがご容赦あれ。)

(1)かけ算において「因子(いんし)」「因数」「約数」はみんな同じ意味です。
 ある数が、別の数で割り切れるとき、この「別の数」の方を指して「因子」とか「因数」とか「約数」と呼ぶのです。
従って、「ある数」が30ならば、30の因数は(自然数1,2,3,・・・だけに限って言えば)
1,2,3,5,6,10,15,30の8個あることになります。

*なんで、かけ算の話なのに「割り切れる」が出てくるか?(念のためですけど)
 それは、かけ算の反対はわり算だからですね。具体的には「30が5で割り切れる」というのは、式で書けば
30÷5=6(余り0)
ですが、これは
30=6×5
というのと同じ事だからです。

(2)もしどうしても「30の因数は3個だ」と参考書にでも書いてあるのであれば、その本は言葉を間違って使っています。この場合「因数」ではなく、「素因数(そいんすう)」が正しい用語です。「素因数」とは「因数のうちで、素数であるもの」のことです。
 「素数(そすう)」というのは(ご存知でしょうが)「1とその数自身以外に因数がないような数(ただし1と0は除く)」のことで、
2,3,5,7,11,13,17,19,23,....
と無限個あります。(また、素数でない数は「合成数」と言います。)
 どんな数も素数だけのかけ算で表すことができ、その表し方は1通りしかありません。この表し方のことを「素因数分解」といいます。
 だから、30を素因数分解すると
30=2×3×5
であり、30の素因数は2と3と5ですね。他に素因数はありません。
 さらに、1を除く因数は全て、素因数か、素因数同士のかけ算になります。実際、この例では、1以外の因数のうち素因数でないものは6,10,15,30であり、それぞれ素因数2,3,5を使って
 6=2×3
10=2×5
15=3×5
30=2×3×5
と表せますね。これらの因数は素因数のかけ算で表せる合成数なのです。
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この回答へのお礼

詳しい解説、ありがとうございました。
僕が最初にしました、「7の因数は1つ」とかいうのは映画で出ていたものなんです。
その後、数学の本で調べたりしたのですが、よくわからなくて・・・
ですが、皆さんの解説で、映画のほうが間違っているのかなぁと思っております。
詳しく解説してもらい、自分の勉強にもなりました。

簡単な質問に回答してくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/01/21 23:31

ありゃ、昨夜は眠かったので


きっちり説明せずに、すみませんでした<(_ _)>

stomachmanさん、お手数を取らせてしまいましたね。

私が言いたかったのは
質問の「因数」は「素因数」が正解で
2つの言葉の違いをハッキリさせたかったんです。
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↓ stomachman自分つっこみです。

何いってんだか。

6も約数ですね。約数は30自身を入れずに6個あります。

(stomachmanが気にしているのは、ITomoさんの仰る「因数」って、もしかしたら「素因数」のことじゃないの?って事なんです。ここで間違って用語を憶えちゃった、なんてことのないようにしたい。)
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> tatuyamaさん



30の「約数」は2,3,5,10,15,30の6個ありますね。
で、(素因数とは違う概念である)「因数」ってのは具体的に幾らで、何個あるんでしょうか?

という疑問です。しつこくてすいません。
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stomachmanさん
すいません
1は素数じゃないんです
((^^)) ユルシテチョンマゲ。
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stomachmanです。

素因数について回答しましたが、
tatuyamaさん、yumiさん< のおっしゃるのが本来の意味の「因数」ですね。

しかし、そうすると
> 30の因数は3つ
って、どういう意味なんでしょうか?
1×30, 1×2×15, 1×2×3×5, 1×6×5, 1×10×3。何をどう数えると3になるんだろう???
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まっ、中学生相手に数学を教えているので専門家と言う事で(笑)



因数とは、簡単に言うと約数です。
ですから因数と言えば答えは#4のtatuyamaさんの
回答で正解と言う事です。
ただし、1は素数に含まれません。

で、他の方の回答は因数の中で素数であるもの
すなわち素因数になります。
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 因数っていうのは数とか式が積(掛け算)であるとき、その元の数や式のことだったかな・・(因数分解とかね・・・)


 素数は、1もしくはその数でしか割り切れない数のこと
1、2、3,5、7,11、13,17,19,29、31・・・・・・・・・・・とかね、
 問題は素数の因数はいくつあるかってことですね
 素因数なんてほとんど受験用語ですよね~
7は7×1も因数だし、30は15×2も因数だと思うよ
素数で分解すればzaraさんやstomachmanさんの通りです
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ありゃ?すでにお答えがでていますね(汗)


書き込みに時間がかかってしまったので、入れ違ってしまったようです。
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実際に7、30、462それぞれの因数をあらわすと



7・・・・7
30・・・2、3、5
462・・2、3、7、11

となります(「462の因数は3つ」とありますが4つですね)。

早い話がその数値を構成する素数の数ですね。
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問題
「a、b、cは自然数とする。
2^3a×3^2b×5^cで表せる6桁の数があり、その中央の4桁は0736であることがわかっているとき、a,b,cの値を求めよ。」

これは中学生の問題です。私は家庭教師をしているのですが、情けないことにこの問題がわかりません。この問題のテーマは「素因数分解の利用」ということなのですが、どう素因数分解を利用するのかわかりません。

~私の解法(素因数分解の利用なし)~
3^2b=9の倍数なので、9の倍数の性質と2×5=10を利用して6桁の数が「207360」とわかったのですが、素因数分解を利用していないので、この解法ではないと思います。そもそも9の倍数の性質を知らないと解けない問題自体見たことがありません。

素因数分解を利用する解法がわかる方はぜひ教えて下さい。お願いします。

Aベストアンサー

  2^(3a)*3^(2b)*5^c = d * 10^5 + 736 * 10 + e
とおくと,
  736 * 10 = 2^6 * 5 * 23
また,左辺は,
  2^(3(a-1)) * 3^(2(b-1)) * 5^(c-1) * 2^3 * 3^2 * 5
a ≧ 1 , b ≧ 1 , c ≧ 1 より,a-1 ≧ 0 , b-1 ≧ 0 , c-1 ≧ 0 より,
  e = 0
∴2^(3(a-1))*3^(2(b-1))*5^(c-1) * 2^3*3^2*5
 = d * 10^5 + 2^6 * 5 * 23
 = 2^6 * 5 * ((625/2)*d + 23)  ← 2^5でくくるべきだが,3a乗よりOK
したがって,d は2の倍数である.d = 2 , 4 , 6 , 8 を代入して,9の倍数になるのは
  d = 2
のときだけであり,このとき,((625/2)*d + 23) = 648 = 3^4 * 2^3
よって,a = 3 , b = 2 , c = 1

素因数分解をメインに使ってみましたが,9の倍数の性質を使いたいですね.

  2^(3a)*3^(2b)*5^c = d * 10^5 + 736 * 10 + e
とおくと,
  736 * 10 = 2^6 * 5 * 23
また,左辺は,
  2^(3(a-1)) * 3^(2(b-1)) * 5^(c-1) * 2^3 * 3^2 * 5
a ≧ 1 , b ≧ 1 , c ≧ 1 より,a-1 ≧ 0 , b-1 ≧ 0 , c-1 ≧ 0 より,
  e = 0
∴2^(3(a-1))*3^(2(b-1))*5^(c-1) * 2^3*3^2*5
 = d * 10^5 + 2^6 * 5 * 23
 = 2^6 * 5 * ((625/2)*d + 23)  ← 2^5でくくるべきだが,3a乗よりOK
したがって,d は2の倍数である.d = 2 , 4 , 6 , 8 を代入して,9の倍数になるのは
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質問内容をきちんと定義すると、n 次の多項式は、n 個の(1次式で表される)因数に分解できるか? ということでいいですか?

これは、複素数の範囲では正しいですというのが、まずは、回答です。
たとえば、(x^2 + 1) は、実数の範囲では因数分解できません。

これは、「代数学の基本定理」というものと、因数定理で説明できる内容です。
代数学の基本定理は、「n 次の複素係数の代数方程式は複素数の範囲で必ず解を持つ」という定理です。
(証明はちょっとやっかい)

平たくいえば、n次式=0と置いた方程式は、(複素数の範囲まで広げれば)必ず解を持つという意味です。
一方で、因数定理は高校で出てくると思いますが、
n次式 = 0 と置いた方程式が、x = a を解として持つなら、この n 次式は (x - a) という因数を持つという定理です。

これを併用して、

n次式 = 0 とおいた方程式は必ず解を持つ。それを、a とおく
n次式 = (x - a)(n - 1次式)と因数分解できる。

n - 1次式 = 0 とおいた方程式は、必ず解を持つ。それを、b とおく。
n - 1次式 = (x - b)(n - 2次式)と因数分解できる。

最初から見れば、
n 次式 = (x - a)(x - b)(n - 2次式)と因数分解できる。

これを繰り返すと、n 次式が n 個の因数に分解できることがわかります。

もうすこし厳密に証明しようとすれば、数学的帰納法で、

1次式は1個の因数を持つ。
n-1次式が必ずn-1個の因数を持つと仮定すると、
n次式は、(上述のないようから) (x - a)(n - 1次式)に因数分解できる。
仮定より、n - 1次式は、必ず、n - 1個の因数を持つから、n次式はn個の因数を持つ。
という論法になります。

質問内容をきちんと定義すると、n 次の多項式は、n 個の(1次式で表される)因数に分解できるか? ということでいいですか?

これは、複素数の範囲では正しいですというのが、まずは、回答です。
たとえば、(x^2 + 1) は、実数の範囲では因数分解できません。

これは、「代数学の基本定理」というものと、因数定理で説明できる内容です。
代数学の基本定理は、「n 次の複素係数の代数方程式は複素数の範囲で必ず解を持つ」という定理です。
(証明はちょっとやっかい)

平たくいえば、n次式=0と置いた方程式...続きを読む

Q素因数分解 問題

教科書に書いてあった問題です。

1、素因数分解せよ

(1)98   (2)228   (3)720

です。
解き方がよくわかりません。教えてください

Aベストアンサー

素因数分解というのは、素数で表せっていう意味なので
(1) 2×7^2
98を素数(1と自分自身でしか割り切れない数)で割っていって、割り切れないところまで計算するので
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(2) 2^2×3×19
   228÷2=114 114÷2=57 57÷3=19
(3) 2^4×3^2×5
   720÷2=360 360÷2=180 180÷2=90 90÷2=45 45÷3=15 15÷3=5
となると思います。

Q数学の問題です。⑴ a^3+b^3+c^3-3abcを因数分解し、こたえは(a+b+c)(a^

数学の問題です。

⑴ a^3+b^3+c^3-3abcを因数分解し、
こたえは(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
になり、そして
⑵ではこの⑴の結果を利用して次の式を
因数分解するという問題です。
出来れば途中式もお願い致します。

x^3+y^3-3xy+1

です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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いきなりすみません
数学の問題なのですが、
√2.01を素因数分解か平方根かは分かりませんが解いたら1.42という答えになると教材に書いてあり、
どうしてもそれまでの過程の計算が
私には分かりません。
どうか教えてください!お願いします!

Aベストアンサー

√2.01を素因数分解か平方根かは分かりませんが・・・
 素因数分解とか平方数の問題ではないです。
 単純に紙と鉛筆で計算すればよい。一目見て1と2の間ということはわかるでしょうから・・
    _1 4  1  4
1  √ 2.01 00 
1   _1___
24      1 00
 4   ____96__
281       4 00
  1       2 81
2824       1 19 00
  4       1 12 96

 1.41・・・あたりだと計算できる。筆算は習っているとして・・
検算
 1.41
×1.41
1.9881

>解いたら
 ではなく計算したらですよ。
 ^^^^^^^^^^^^^^^^^この用語の違いは数学では最も重要

>どうしてもそれまでの過程の計算が私には分かりません。
 電卓で2.01 → √
 電卓なければ筆算で・・・まあ3桁くらいなら適当な数字を割り当てても出せるでしょう。

Q≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a,b,cに対して,F=(3

≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a,b,cに対して,F=(3-a)(3-b)(3-c)とおく。このとき,a,b,cが条件を満たしながら動く時のFの最大値を求めよ。

≪自分の考え≫
展開してみても、特に何も見えず…
文字を消したとしても、1つまで…

どうしたいいのかわかりません^^;

Aベストアンサー

変形に気が付けば、1発で終わり。

3-a=b+c、3-b=c+a、3-c=a+b であるから、F=(b+c)*(c+a)*(a+b)。
a>0、b>0、c>0より、相加平均・相乗平均から、(b+c)+(c+a)+(a+b)≧3(3)√{(b+c)*(c+a)*(a+b)}
a+b+c=3から、6≧3(3)√{(b+c)*(c+a)*(a+b)}。
3乗すると、F≦8.
そして、等号成立は?

文字が全て正の時は、相加平均・相乗平均が使えないか、を疑ってみると良い。


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